0257

259

§ 3. Zbieżność szeregów dowolnych

Niech teraz zbiór {|jc*|} będzie ograniczony i niech R będzie jego kresem górnym. Jeżeli |x| > R, to rzecz jasna szereg jest dla tego x rozbieżny. Weźmy teraz dowolne x spełniające nierówność [jc| < R. Z definicji kresu górnego istnieje na pewno takie x*, że |x| < |x*| < R, a to na mocy lematu pociąga za sobą bezwzględną zbieżność szeregu (4).

Tak więc w przedziale otwartym (—R,R) szereg (4) jest bezwzględnie zbieżni, dla x > R i x < —R szereg jest na pewno rozbieżny, i tylko o końcach przedziału x = ±R nie można twierdzić nic ogólnego — tam w zależności od konkretnego przypadku może wystąpić zarówno zbieżność jak rozbieżność.

Postawione przez nas na początku tego ustępu zadanie zostało rozwiązane.

Obszar zbieżności każdego szeregu potęgowego (4) jeśli szereg ten nie jest tylko wszędzie rozbieżny, jest pełnym przedziałem {—R, R) z włączeniem lub wyłączeniem końców, przedział ten może także być nieskończony. Wewnątrz przedziału szereg jest ponadto zbieżny bezwzględnie.

Wspomniany przedział nazywamy przedziałem zbieżności, a liczbę R (0 < R < + co) — promieniem zbieżności szeregu. Wracając do przykładów 1) (a) — (e) z poprzedniego ustępu widzimy, że w przypadku

(a) R = +oo, (b) R = 1,    (c) R = 1,    (d) R = e, (e) R = 1/e.

Dla szeregu wszędzie rozbieżnego przyjmuje się R = 0. Obszar zbieżności takiego szeregu redukuje się do jedynego punktu x = 0.

380. Wyrażenie promienia zbieżności przez współczynniki. Teraz udowodnimy dokładniejsze twierdzenie, w którym nie tylko na nowo stwierdzimy istnienie promienia zbieżności, ale też wyznaczymy jego wartość w zależności od współczynników samego szeregu (4).

Rozpatrzmy ciąg

Pi = lad, Pi = /kT, .... Pn = y'ku, •••

Oznaczmy górną granicę tego ciągu (ta górna granica zawsze istnieje [42]) przez p, czyli

p = lim p„ = lim .

«-*CO    ll~*CO

Twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda. Promień zbieżności szeregu (4) jest odwrotnością górne granicy p ciągu p„ = ]/a.

(przy czym R = + oo, jeśli p = 0 i R — 0, jeśli p = + co).

Twierdzenie to odkryte przez Cauchy’ego zostało zapomniane. J. Hadamard znalazł je ponownie i podał jego ważne zastosowania.

Dowód. Przypadek I: p = 0. Udowodnimy, że w tym przypadku R = + oo, tzn. że dla dowolnego x szereg (4) jest bezwzględnie zbieżny.

Ponieważ wyrazy ciągu |/|a_n\ są dodatnie, przeto z tego, że p — 0 wynika, że ciąg ten ma granicę

lim fjaj = 0 .

IT»