0253

255

§ 3. Zbieżność szeregów dowolnych

rzecz do badania zbieżności szeregu dodatniego. Jeżeli wyrazy szeregu są ujemne, lub są takie przynajmniej począwszy od pewnego miejsca, to powrócimy do rozpatrywanych już przypadków przez zmianę znaków wszystkich wyrazów [364, 3°]. Tak więc istotnie nowy będzie przypadek, gdy wśród wyrazów szeregu jest zarówno nieskończenie wiele dodatnich jak i nieskończenie wiele ujemnych. Tutaj przydaje się często następujące ogólne twierdzenie.

Twierdzenie. Niech będzie dany szereg (A) o wyrazach dowolnych znaków. Jeżeli jest zbieżny szereg

00

(A*)    £|«.| - 10,1 + 10,1+ ... +|o„|+ ...

i-i

utworzony z wartości bezwzględnych jego wyrazów, to dany szereg jest także zbieżny.

Dowód otrzymuje się natychmiast z zasady zbieżności. Nierówność

|o« + l+0*+2+ ••• +a„+_m| ^ |0* + ll + |0n+2l+ ••• +|o_n+ml

pokazuje, że jeśli warunek konieczny i dostateczny zbieżności jest spełniony dla szeregu (A*), to jest tym bardziej spełniony dla szeregu (A).

Można rozumować inaczej. Z wyrazów dodatnich szeregu (A) po kolejnym ich ponumerowaniu utwórzmy szereg

00

(P)    ^ p* = P1+P2+ - +Pk+ -.

Ł-l

Tak samo postąpmy z wyrazami ujemnymi i utwórzmy szereg ich wartości bezwzględnych

00

(Q)    ^ <łm = Ql + <h+ ... +4m+ ...

m— 1

Ilekolwiek weźmiemy wyrazów pierwszego lub drugiego szeregu, będą one wszystkie zawarte wśród wyrazów zbieżnego szeregu (A*), wskutek tego dla wszystkich sum częściowych P_k i Q_m będą spełnione nierówności

Pk < A*, Q_m<A*,

gdzie A* jest sumą szeregu (A*). Obydwa szeregi (P) i (Q) są zatem zbieżne [365]; ich sumy oznaczymy odpowiednio przez P i Q.

Jeżeli weźmiemy n wyrazów szeregu (A), to wśród nich znajdzie się k dodatnich i m ujemnych, a zatem

A_n — Pk~Qm •

Wskaźniki kim zależą tu oczywiście od n. Jeżeli szereg (A) ma nieskończenie wiele zarówno wyrazów dodatnich jak i wyrazów ujemnych, to gdy n -* 00, będzie też k -* 00 i m -* 00.