0589

591

$ 2. Zbieżność jednostajna caiek

Jeżeli całka powyższa przy // -*• 0 dąży do swojej granicy jednostajnie względem y, to również mówimy, że całka (5) jest zbieżna jednostajnie. Wszystko co powiedzieliśmy wyżej przenosi się oczywiście na ten przypadek.

W przypadku gdy mogą powstać wątpliwości, o jaką zbieżność jednostajną chodzi, będziemy mówili, że całka jest zbieżna jednostajnie (względem y w obszarze >/) dla x = = + oo, dla x = b, dla x = a itd.

Zauważmy, że z reguły zbieżność jednostajna całki (5) np. dla x = b, będzie nas interesowała wtedy, gdy właśnie punkt b będzie punktem osobliwym (w sensie wyjaśnionym w ustępie 479) całki (5) dla pewnych wartości y. Sama jednak definicja zbieżności jednostajnej całki nie tylko formalnie zachowuje swą moc w przypadku, gdy całka (5) jest całką właściwą dla wszystkich wartości y, ale — jak zobaczymy — nawet i w takich przypadkach może się okazać pożyteczna.

Na przykład całka

I¹—dx

J x²

o

dla każdej wartości y z przedziału <0, </>, gdzie d> 0, jest całką właściwą. Jednak dla tego przedziału zmienności y zbieżność jej nie jest jednostajna w punkcie * = 0. Istotnie, jeżeli e< to nierówność

x²+y²

- dx -

arc tg -2- < e

y

nie może być spełniona jednocześnie dla wszystkich y> 0. Niezależnie od tego jak małe weźmiemy t], lewa strona nierówności dąży do-j-ir, gdy y -* Oi dla dostatecznie małych wartości y będzie z pewnością większa od r.

517. Przykłady

1) Udowodnić bezpośrednio, że całka

dx

y²-x² ix²+y²)²

jest zbieżna jednostajnie względem y dla wszystkich wartości y. Jest tutaj

1/

■>’*—**

(x²+y²)²

dx

A

A²-hy²

<

A '

Stąd wynika już żądana własność całki.

2) Udowodnić za pomocą mąjorant, że całki

(a) ( e~^,x'dx, (b) ( e~'^xx“ cos x dx o    o

są zbieżne jednostajnie względem t dla />r_o>0.

Wskazówka. Majorantami są:

(a) e"*⁰*¹,    (b) e~'<‘*x*.

(«> 0)