0599

601

§ 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek

Przy tym w obu zadaniachimożna przyjąć za znaną całkę

/i??-'*-7*- <‘^>0>

o

[patrz 522, 4° oraz 523, 9)].

Rozwiązanie, (a) Rozpoczynamy od rozwinięcia w szereg

ł-rcosfor -fyccfrO). ł—2rcos fix+r²    ~₀

Mnożymy dwustronnie pnez-^Z—i całkujemy szereg wyraz za wyrazem

cos v(lx l+x*

dx.

v-o o

Całkowanie takie jest tu dozwolone, bo szereg jest zbieżny jednostajnie nawet w całym przedziale nieskoń-

£

czonym; jego sumy częściowe mają majorantę postaci ^ [twierdzenie 1].

Jeżeli skorzystamy teraz z wartości podanej wyżej całki, to otrzymamy ostatecznie

/.

= JL Vr'V-’* = — •    ¹    — •

2 4-*    ² 1 -rd+ ²

(b) Wskazówka. Skorzystać z rozwinięcia [461, 6) (b)J

ln (1 —2r cos /fce+r¹) = — 2    — cos vpx.

V-1

Odpowiedź. /₂ = rc ln (1 —re~f).

6) Całki

00    CO    00

(a) f e~*‘cos 2bxdx, (b) J e~^xi cosh 2bx dx, (c) J e~^x* sin 2bx dx 0    0    o

(Lap!ace’a) rozwinąć na szeregi według potęg b (6>0), przyjąć przy tym za znaną całkę

J _e-*'_dx = j£L

o    ²

[patrz 492, 2°].

Rozwiązanie, (a) Rozwijając cos 2bx w szereg i całkując wyraz za wyrazem otrzymujemy / e'*¹ cos 26* * = / e-*¹ J H)W^V * - J    V V*.

O    0    V-0    T-0    0

Całkowany szereg jest oczywiście zbieżny jednostąjnie w dowolnym przedziale skończonym <0, A\ a jego sumy częściowe mają majorantę

* V (2bxY

Z-i 2v!

e

e^-** cosh 2bx

»-o

całkowalną od 0 do oo; można go zatem całkować wyraz za wyrazem.

C¹) Łatwo je otrzymać z rozwinięć w zadaniach 10) i 11) z ustępu 440.