0603

605

§ 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek

a więc dla 0<x</»-y7t jest

Nierówność ta jest tym bardziej prawdziwa dla x>n- y ir, bo wówczas jest f,(x) = 0.

Stosując twierdzenie 1 z ustępu 318 możemy w równości (7) przejść pod znakiem całki do granicy dla n -*■ oo. Prowadzi to do następującego rezultatu:

[por. 494, 4); 497, 15)].

11) Inny przykład tego samego rodzaju. Wiadomo [por. 440,10)], że

/

cos mx

1—2 r cos x+r²

dx

1—r²

z    h

gdzie m jest liczbą naturalną i |r|<l. Podstawmy tu x **— i r = 1--(A>0). Przyjmując, że

m    m

m>h otrzymujemy

-a    (,.*)■

f _cos z dz__ f _cos z dz__ 7t \ m /

• -+—(»—-s-)(i-4) ’•    '

Przejdźmy tu pod znakiem całki do granicy dla i»i —► oo nie krępując się tym, że górna granica całki rośnie wraz z m — zastąpimy ją przez oo. Otrzymujemy

/

cos z h²+z²

dz ■■

K

2 h

Czy otrzymana równość jest prawdziwa? Postaramy się uzasadnić taki sposób przejścia do granicy. Wprowadźmy funkcję

dla 0 < z < imc,

cos z

/„(*)=

I .i / sin (z/2m) \

\ z/2m ) \ m)

0    dla z > nm .

Lewa strona interesującej nas równości jest zatem równa całce

/ /„W dz.

O

Oczywiście

lim/„(z)

m-*ao

COS Z h*+z² '