0595

597

§ 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek

Na podstawie uogólnionego twierdzenia Diniego zbieżność funkcji /(x, y) do <p (x) musi być jednostajna względem x w dowolnym przedziale skończonym. Dalej, ponieważ f(x,y) ^ <p(x), więc funkcja <p(x) jest majorantą dla funkcji f(x, y) i wobec tego istnieje całka (1) (twierdzenie 1 z ustępu 474) i jest zbieżna jednostajnie względem y (kryterium z ustępu 515). Spełnione są zatem wszystkie założenia twierdzenia 1.

Czytelnik sam łatwo sprawdzi, że założenie istnienia całki (6) z funkcji granicznej może być tutaj zastąpione założeniem, że istnieje skończona granica

00

lim f f(x, y) dx . y-yo _a

Z tego wynika bowiem istnienie całki (6) i równość (2).

Rozwijając dalej naszą myśl możemy otrzymać pewne uogólnienie twierdzenia 1 z ustępu 506 dotyczące całek niewłaściwych w przedziale skończonym.

Twierdzenie 1'. Załóżmy, że funkcja f (x, y) dla ye^c)Jjest całkowalna w zwykłym sensie względem y w przedziale (a, b—//>, gdzie ą jest dowolną liczbą spełniającą nierówność 0 < r\ <b—a. Załóżmy dalej, że gdy y -* y₀, wówczas funkcja ta w każdym takim przedziale jest zbieżna jednostajnie względem x do funkcji granicznej f (x). Jeżeli oprócz tego całka

b

J /(*> y) dx

a

jest w punkcie x = b zbieżna jednostajnie względem y w obszarze Of, to zachodzi równość

b    b

lim f f (x, y)dx = J <p (x) dx .

y-yo a    a

Dowód niczym nie różni się od dowodu twierdzenia 1. Łatwo jest również rozciągnąć podany wyżej wniosek na przypadek przedziału skończonego.

Rolę punktu b może odgrywać dowolny punkt przedziału. Poza tym podobnych punktów może być w przedziale kilka.

Jak już wspominaliśmy wyżej, przejście graniczne pod znakiem całki najczęściej występuje w zastosowaniu do ciągów funkcyjnych {/„(*)}. Przechodząc od ciągów do szeregów nieskończonych otrzymujemy tą drogą twierdzenia o całkowaniu szeregu wyraz za wyrazem. Na przykład wniosek z twierdzenia 1 otrzymuje następującą postać:

Załóżmy, że szereg

00

^ «„(*).

n-1

utworzony z funkcji dodatnich i ciągłych dla x ^ a (lub dla a < x < b) ma dla tychże wartości x ciągłą sumę tp (x). Jeżeli ponadto suma ta jest w przedziale <a, + oo) (lub <a, b}) całkowalna, to w tym przedziale szereg można całkować wyraz za wyrazem.

Zamiast calkowalności sumy szeregu można — podobnie jak wyżej — założyć zbieżność szeregu całek

00 00    00    b

/ u_n(x) dx (lub J u„(x) dx) .

n-ł a    «—1 a