0629

i 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek

631

4) Obliczyć całkę

B

sin ax

/oto dx (a > 0).

Obliczamy

B = j ^ain°^xdxf cos (* sin 0) d6 = ^ j dO f 0 0 0 0

Całka wewnętrzna jest nieciągłym czynnikiem Dirichleta [497, 11)]

flO

J iłŁ2£ cos (x sin 0) dx =

nn

w

sin ax

cos (x sin 0) dx.

y7t dla sin0<a,

dla sin 0 > a.

Wobec tego

sin ax

■/oto dx =

-U

2

dla a > 1, arc sin a dla a < 1 .

Uzasadnimy teraz, że wolno tu było zmienić kolejność całkowania. Mamy następującą równość:

A    it/i    n/2 a

2_ r m£x._dx C _Cos(jrsin0)</0 = — f dO f ^-^-cos{xsind)dx. n J x J    re J J x

oo    oo

Całkę wewnętrzną możemy napisać w postaci

(22)    J i!Ł2L cos (x sin 0) dx

_ I |J sin (a+sin 0) x _{rfr |} j sin (a—sin 0) * 0    o

^(d-Mlif)    d(c>łll0)    v

-t{ / •^ⁱ*⁺ / ^4

Jeśli a>l, czyli <7-sin 0>a— 1 >0, to przy A-*■ oo napisane wyrażenie dąży do granicy jednostajnie względem 0, tym samym całka

00

f    cos (jc sin 0) dO

J x

jest zbieżna jednostajnie i możemy wobec tego zmienić kolejność całkowania. Gdy a<l, zbieżność przestaje być jednostąjna w otoczeniu wartości 0 — arc sin a. Ponieważ jednak wyrażenie (22) jest dla wszystkich wartości A i 0 wspólnie ograniczone (jest zmąjoryzowane przez stałą!), więc odka zewnętrzna jest dla 0 = arc sin a zbieżna jednostajnie względem A, można zatem przy A-*- oo przejść do granicy pod znakiem całki i dopuszczalna jest tym samym zmiana kolejności całkowania.