CCF20090319049

58 Całkowanie

10. Obliczyć całkę

⁼ /^sin?

x dx.

Rozwiązanie. Przekształcamy funkcję podcałkową

sin⁷ x = sin⁶ x ■ sin x = (1 — cos² a:)³ sin x.

Wykonujemy podstawienie u = cos a:, skąd du = - sin x dx i otrzymujemy

J sin⁷ x dx = — j(l — u²)³ du — - J(1 — 3u² + 3u⁴ - u⁶) du =

3    3 5    1 ₇    _

= -u + u^ó - -u⁵ + -u⁷ + C.

5    7

Wracając do zmiennej x, mamy

f .    7    ,

/ sm x ax = — cos x + cos x--cos x Ą— cos x + C.

J    5    7

11. Obliczyć całkę

-s

xe^x dx.

Rozwiązanie. Stosując zapis różniczkowy, mamy

“ ^{= 1}' ^{dU = dX}'^{dV = e}’^dX' a po scałkowaniu przez części otrzymujemy

I = xe^x — J e^x dx — xe^x — e^x + C.

12. Obliczyć całkę

1 =

J e^x sin x dx.

Rozwiązanie: Oznaczamy

v = e

u = sina;, dv = e^x dx, skąd du = cos xdx, i otrzymujemy

Je-cos* i*.

X

1

= e^x sin x —