3860644191

1-

Oblicz całkę:

dx

3x -|- 2

Rozwiązanie:

Całkowanie funkcji wymiernych

/:

dx

:² — 3x + 2

(*)

x² — 3x + 2

> A = (-3)²-4-l-2=l

= VT= 1

-(-3) - 1    2

»*¹ = -Vi--2⁼¹

-(-3) +1    4    „

² “ 2 ²

Postać iloczynowa:

(a: — l)(a: — 2)

(*) = f    -:nrda; = (**)

Rozkładam na sumę ułamków prostych.

1    A B

x² — 3x + 2 x — 1 x — 2

_1_ _ A(x - 2)    B(x- 1)

x² — 3x + 2 (x — l)(a: — 2) ⁺ (a: — l)(a; — 2)

1    A(x — 2) + B{x — 1)

x² — 3x + 2 (x — l)(a: — 2)

1 = A{x — 2) + B(x — 1)

1 = Ax - 2A + Bx - B l = (A + B)x-2A-B

A + B = Q - 2A - B = 1

B = —A

-2A-(-A) = 1

—2 A + A = 1

-A = l /-(-l) /I = -1

B = -(-!) = !

1 _ -1 1

(a: — l)(a: — 2) x — 1 ^ x — 2

—dx x — 1

+

r dx r dx

J X-1⁺ J x-2

Na podstawie wzoru j ——— = ln |a^- + a| + C ■ ln \x — 1| + ln |a: — 2| + C = ln \x — 2\ — ln \x — 1| + C

Na podstawie wzorów: log. x — log. y — log. — i — =

y \y\

Odp.

/

^ln r—TT ^{+ C=} ln

l*-l|

dx

x² — 3x + 2

= ln

x — 2

x — 1

a; — 2

x — 1

+ C

+ C