CCF20090319048

Zasady całkowania 57

8. Obliczyć całkę 1 =

2x + 3

(*-!)(* +2) ’

a; 7^ —2, a; ^ 1.

Rozwiązanie. Przedstawmy ułamek algebraiczny z wyrażenia podcałkowego w postaci sumy ułamków prostych, tzn.

2x + 3    _ A B

(x - l)(x + 2) x - 1 x + 2

Po pomnożeniu obu stron tego równania przez (a: - l)(a; + 2) otrzymujemy 2x + 3 = A(x + 2) + B(x - 1).

Jeśli do ostatniego wyrażenia wstawimy x = 1, to otrzymamy A = 5/3. Przyjmując x = —2, obliczymy B = 1/3. Liczby A i B można więc wyznaczyć metodą „wystarczy zasłonić”. Aby obliczyć A, należy w ułamku złożonym „zakryć” x — 1 i policzyć wartość powstałego ułamka dla x = 1; otrzymamy A = 5/3. W celu policzenia B „zasłaniamy” x + 2 i po wstawieniu x = — 2 mamy B = 1/3. Wobec tego

f dx 1 f

rl nr    ^

= -ln Iz — l| + ^-ln|z + 2| + C. x+2    3    ¹    1    3    ¹    1

9. Obliczyć następujące całki:

-J

cos

² x dx oraz B

= /si

sin² x dx.

Rozwiązanie. Całki te można wyznaczyć wieloma sposobami. Jeden z nich polega na obliczeniu tych całek łącznie. Zauważmy, że

A + B

-/<

cos² x + sin² x) dx

= J dx = x,

A - B = J(cos² x - sin² x) dx = J cos 2x dx = - sin 2x.

Dodając ostatnie równania stronami, a następnie odejmując je, wyznaczymy szukane całki:

/ cos² x dx = -x + - sin 2x,    [ sin² x dx = -x — - sin 2x.

J    2 ^4    J    2    4

Całki zostały podane z dokładnością do stałej całkowania.