3860644193

Oblicz całkę:

f 2x² + 2x + 1 ./ x²(x + 1)

Rozwiązanie:

Rozkładam na sumę ułamków prostych.

2x² + 2x+l _ A B_    C

X² [x + 1)    X X² X + 1

2x² + 2x + 1    Ax(x +    1)    B(x + 1)    Cx²

x²(x + 1)    x²(x +    1)    x²(x + 1)    x²(x + 1)

2x² + 2x + 1 _ Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx² x²(x + 1)    x²(x + 1)

2x² + 2x + 1 = Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx²

2x² + 2x + 1 = Ax² + Ax + Bx + B + Cx²

2x² + 2x+\ = (A + C)x² + {A+ B)x + B

{A + C — 2 A + B = 2

B= 1

{A+C=2 A+ 1=2 B= 1

/

2x² + 2x + 1

x²(x + 1)

*.fa₊4

J \x x‘

² x + 1

dx

= / —dx + / ~^rdx + [ —-—dx = J x J x² J x + 1

— ln |x| + C\---h C*2 + ln \x + 1| + C3

x

= ln |a;| + ln |a; + 1|---1- C

Na podstawie wzorów: log_n x + log₀ y = log₀ xy i |a:| • |y| = \x ■ y\

= ln |a;(x + 1)|---YC

IH

Odp.

+ 2x + 1    .1/    .. i    1    „

.,7-7—dx = ln a:(x +1)---1-C

a:² (a: + 1)    x