CCF20090319047

56 Całkowanie

6. Obliczyć całkę

/

x dx

(x² + o²)ⁿ ’ gdzie a ^ 0.

Rozwiązanie. Stosujemy podstawienie x² + a² = y, y > 0, i po zróżniczkowaniu mamy x dx — dyj2. Jeśli n 1, to

/=-/— = -/ y~ⁿdy = i

2 J yⁿ 2 J ^{y y} 2

Powracamy do zmiennej x i ostatecznie a; da;    (a;² + a²)^1_n

y

-71+1

„1—71

-n + 1

+ C =

2(1 -n)

+ C.

/

+ C,    gdzie 0, n ^ 1.

(a;² + a²)"    2(1 - n)

Dla n = 1 ze wzoru (3.3) mamy

I=\J J = jln!/ + C = iMx² + <.²) + C.

Znak wartości bezwzględnej jest tu zbędny, gdyż y > 0.

7. Obliczyć całkę

-J

4x — 1 2x² — x + 2

da;.

Rozwiązanie. Zauważmy, że wyróżnik trójmianu kwadratowego funkcji podcałkowej A = 1 —16 = —15 < 0. Mianownik jest więc różny od zera i dodatni dla każdej wartości x. Zastosujmy podstawienie

2a;² — x + 2 = u,

otrzymujemy wtedy

/I

—.

•Korzystając ze wzoru (3.3) i wracając do zmiennej x, mamy I = In u + C = ln(2a;² — x + 2) + C.

Zapamiętajmy, że jeśli licznik jest pochodną mianownika, to

r-f-j

(3.12)

= M/| + C.

f'dx f df

f