444 2

444

11. Metoda Monte Carte • symulacja

Obliczamy całkę

]f{x)dx.

Niech R\, Ri.....R_r będą liczbami losowymi o rozkładzie prostokątnym w [0, |] j _n*^

i.-

;■=! n

Można wykazać, że wartością oczekiwaną zmiennej /, jest / i że odchylenie standardowe tego przybliżenia jest proporcjonalne do n~ '•*. Jest to bardzo wolny spadek w porównanie 7 wzorem trapezów, dla którego błąd jest proporcjonalny do n 'lub z wzorem Slmp-sona

Powyższe przybliżenie jest szczególnym przypadkiem znacznie ogólniejszego. Załóżmy że X₍ (/=!, 2.....n) ma funkcję gęstości g(x). Wtedy suma

/ _ ¹ y fW

¹    * ,t-, g(X_t)

'ma wartość oczekiwana /, gdyż.

K'SHS^9U,H^/u,‘'^j‘⁼⁼'-

Jeśii można tak dobrać gęstość g(x), żeby iloraz f(x)igix) wahał się mniej niż J\x). to /₂ ma mniejszą wariancję niż /,. Użyteczność takiego postępowania sprawdzono y; zadaniach fizyki cząstek, gdzie ważne zjawiska (np. przenikanie przez ekran niebezpiecznego promieniowania) wiążą się z pewnymi zdarzeniami o małym: prawdop Są przykłady, w których to postępowanie redukuje wariancję o kitka rzędów.

W rozdziałach 3 i 7 wspomnieliśmy metodę użycia ..zadania porównawczego'*--WansaL tej zasady stosuje się również w metodach Monte Carlo. Załóżmy, że funkcją znaną wartość całki A i że różnica J (x)- <iĄx) waha się znacznie mniej niź/(^)-że

¹ i    i    i

/- J yix)dy.+    f (f(x)~ <?(x))dx^k+    Jp{i))dx.

0    O    o

Ostatnią całkę można przybliżać za pomocą sumy

/₃=~I (M_t>-*(«,»■»

h _fiiJ

która ma mniejszą wariancję niż /> Z lego pomysłu można skorzystać w wid^u ■*—' zastosowaniach metod Monte Carlo.