438 2

438

11. Metoda Monte Carlo i symulacja

Inną ciekawą własnością procesów Poissona jest to, źe prawdopodobieństwo wys,t_a pienia dokładnie n zdarzeń w czasie T jest równe

— e~^XL(klSf (rozkład Poissona). n !

Procesy Poissona, ich własności i zastosowania opisuje Heller [1-41J. rozdział 17. Dc y,_v„ korzystania w zadaniach tego rozdziału służy umieszczony w Dodatku ciąg stu liczb losowych o rozkładzie wykładniczym i ciąg przeciwny (tablica III).

Następny przykład pokazuje, jak można otrzymywać liczby losowe (w pewnych ważnych przypadkach) łatwiej, niż ogólną metodą opisaną w przykładzie 1113. Więcej wiadomości tego rodzaju można znaleźć w zadaniach do tego rozdziału i u Hammersłey^a i Handscomba [149].

Przykład 11.2.5. Liczby losowe o rozkładzie normalnym. Znając dwie niezależne liczby losowe R_t i R₂ o rozkładzie prostokątnym w [0, 1] można otrzymać dwie niezależne liczby losowe o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną 0 i odchyleniem standardowym 1, Stosuje się w tym celu następujące przekształcenie Boxa-Mullera:

/V₄-<-2lnK,)^l'^? eos(2a«₂).

jV₂=(-2 \nRo^U2*m(2nR₂).

Nie będziemy dowodzić tego twierdzenia. Wskazówką dla czytelnika, który chciałby zrobić to sam, niech będzie fakt. że A', i A\ można uważać za współrzędne prostokątne punktu, którego współrzędne biegunowe są określone wzorami

r²=.Vj + .Vi~ -2 ln/?, .    ę = 2ziR₂.

Trzeba bv więc wykazać, że dystrybuanta pary niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym jest symetryczna względem obrotu (kąt ma rozkład równomierny) i że suma ich kwadratów ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej 2 (zob. przykład 11.2.4).

Zauważmy też, że tworząc liczby w-ftrA',, m+a.\'₂, otrzymujemy zmienne losowe o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną m i odchyleniem standardowym o.

Istnieją obszerne tablice liczb losowych o rozkładzie normalnym — zob. np. (156J-W Dodatku umieszczono ciąg stu takich liczb. Ciąg przeciwny powstaje z niego po prostu przez zmianę znaku wszystkich liczb.

Pytania prżeglądowe

1.    Co to jest liczba losowa o rozkładzie prostokątnym?

2.    Opisać ogólne metody generowania liczb losowych

(a) o danym rozkładzie dyskretnym, (b) o danym rozkładzie ciągłym.

Podać przykłady ich użycia.

3.    Jakie są najważniejsze własności procesu Poissona? Jak można generować tak-proces za pomocą liczb losowych?