img045

OBLICZANIE CAŁEK Z FUNKCJI WYMIERNYCH POSTACI l/(j+o)”(jr+fc)’'

Całkowanie funkcji wymiernych postaci (_x+ay

Przed wskazaniem metody wyznaczania całek typu r dx

(3.18)

zauważmy, że

(3.19)

(jc + a)"(^+i>y

dx

gdzie a,beR oraz m,neN(a*b)

--M

mul

n r ^J

dx

(ax+b)^m(cx+d)" a^mc

(a*0,c*0),

co oznacza, że całkę typu (3.19) można zawsze sprowadzić do całki typu (3.18).

Z teoretycznego punktu widzenia całkę (3.18) można obliczyć przez rozkład na ułamki proste (w tym przypadku będą to wyłącznie ułamki proste I. rodzaju). Wówczas jednak należy wyznaczyć m+n liczników takich ułamków, co dla dużych wartości m+n jest zadaniem uciążliwym.

Okazuje się jednak, iż całkę (3.18) można wyznaczyć dość szybko, stosując podstawienie

x+a . . ,,,,    a-bt ,,    ,,_A b-a

t = —— = <p_, (je). Wówczas .r =    = ę(t) oraz <p (<) = —^.

Wówczas x + a = (a-b)——, x + b=[a-b)—— i zgodnie z twierdzeniem 2.5 (wzór (2.14)) l-l    (-1

otrzymujemy:

-di

(3.20)    f_*_,_L-_rfrHT'¹ '

PRZYKŁADY

3.15.

dx <»•“)    1

2+1-2

(ce-ł- 3)(jc—1)    (3+1)'

f dx (MO 1 f _f(M'

³'¹⁶‘ Jfx-l)^ł(*+2)³    f-1-2)²^' J t²

ln

cc +- 3

Jr+3

i-l

x-l

x-l

x+3

+ C.

= — f-i/²-3t + 31n|t| + i)    +C.

81 {2    ¹¹ tj_t.*±

W{x)

Całkowanie funkcji wymiernych postaci (_x__ay⁺¹

Całki postaci

<“>>

45