Pochodne fukcji rozniczkowalnosc strv 77

76

76

38. h (m) = 3”".

40. g (x) = V cosh x

42. Obliczyć pochodne funkcji: a) /(x) = c) fc(x) = sinx“*\

. Niech /(x) = _y/x+_s/lć. Obli 45. Niech /(x) = $fx, g(x)

47. Zbadać różniczkowalność funkcji /: IR -* IR określonej v sposób:

/«-

-4) dla x e(3,4)

dla x pozostałych.

48. Niech /:IR² - R, /(0,0) = 0 c

z /<x,y) =

xy

*) /(x,y)

+y”

«) /(x,y)«ln(x¹+y¹), e) /(x,y,z) = _v/x² + y² +

g) f/(u,u,»v) = ln-—^5=

Wyznaczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu następujących b) f(x,y) = arctg-.

d) /(u, u) = ln(u + lni>), 0 g(x,y,z) = (sinx)^yi,

50. Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu następujących funkcji w podanych punktach:

*) J (x,y) = x + y-_>/x¹ + yⁱ w punkcie (3.4).

b)    /(*,)') = lnw punkcie (1,2),

punkcie (1, -1,1).

_t._alL.2Ł.

dxdy dydx

c)    f(x,y,z) = xy² + yz² + xz w punkcie (!

51. Niech f(x,y) = x^ł. Pokazać, że

d*f e*f

dy²dx dxdy²'

52. Niech f(x,y) = arctg-. Pokazać, że

53. Znaleźć pochodne cząstkowe drugiego rzędu następujących funkcji:

■) f(x,y) = ln(x+_N/x² +y²), b) g(x,y) = arctg

r) /i(x.y,r) = Jx^, + r‘+z^,-2xz.

54. Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji:

_    ■) f(x,y) = x*+y*+2xy+l, w punkcie (1,2) w kierunku wektora

- * (3. I),

I b) d(x,y) = ln(x² + y²), w punkcie (1,1) w kierunku wersora dwusiecznej Bitrwszej ćwiartki,

| c) li(x,,x₂,...,x_n) = xf+ xl + ... + x², w punkcie (1,2,3,....n) w kierunku Wektora u = (1,1, —, 1).

55. Niech/:R--a-,/(x„x₂,...,xJ

Wyznaczyć jakobian tego odwzorowania w punkcie (1,1,..., 1).

56. Niech f(x,y) = 3x²y-2xy+y² - 1, g(x,y) = e*cosy.

Wyznaczyć różniczki drugiego rzędu tych funkcji.

|    57. Niech /: IR² -* &², g: fH² -* Ift będą funkcjami określonymi w następują

cy sposób: /(x,y) = (x + 2y, -3x + 6), g(x,y) = xy.

a)    Wyznaczyć jakobian funkcji / w punkcie (1, - 1),

b)    obliczyć pochodną kierunkową funkcji g- f w punkcie (1,1) w kierunku Wektora a =(1,-2).

58.    Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f (x,y,z) = x+y¹+xyz² W punkcie (1,1, — 1) w kierunku wektora a = (2,0,1).

59.    Znaleźć pierwsze pochodne funkcji uwikłanych y = y(x) określonych równaniami:

a) x^ły-xy³ = a\ a = const,    b) xe' + ye* - e” = 0.

60.    Znaleźć y"(0) wiedząc, że y = y(x) jest funkcją uwikłaną zadaną równaniem x² - xy + 2y² + x-y— 1 = 0 i taką. że y(0) = 1.

61.    Niech y =■ y(x) hędzic funkcją uwikłaną zadaną równaniem x² \-2xy+y²- 4x + 2y -2 - 0. Wiedząc, żc y(l) - I wyznaczyć y^,3,(I).