img043

OBLICZANIE CAŁEK Z FUNKCJI WYMIERNYCH POSTACI x//(ax*+b)"

C. Jeżeli    +r jest liczbą całkowitą, to podstawienie a + — = t‘,gdzie sjest mianownikiem

q    x“

ułamka r, sprowadza całkę (3.15) do całki z funkcji wymiernej.

Uwaga 3.7

Z formalnego punktu widzenia całka (3.15) sprowadza się do całki (3.16) w przypadku, gdy <7=1. Wobec tego, jeśli w twierdzeniu 3.5 położymy <7=1, to otrzymamy nie tylko metodę liczenia całek typu (3.16), ale również kryterium rozstrzygające, w jakich przypadkach całki (3.16) nie da się wyrazić poprzez funkcje elementarne. Kryterium takim dla całek typu (3.16) jest żądanie, aby żadna z liczb wymiernychp, r nie była całkowita.

Teraz podamy przykłady zastosowania twierdzenia 3.5 oraz uwagi 3.7 w konkretnych zadaniach rachunkowych. Przykłady te dotyczą całek z funkcji niewymiernych, co zdecydowanie wykracza poza temat realizowany w tym punkcie. Podajemy je jednak już teraz, bowiem twierdzenie 3.5 — właśnie w tym miejscu — pojawia się w sposób naturalny i pozostawienie go bez odpowiednich przykładów byłoby niezgodne z intencją autora.

PRZYKŁADY 3.13. Ponieważ

dx,

l + x⁶

więc zadana całka jest całką typu (3.15), w której a-b-\, p--~^ q = — oraz r = —.

8 6 2

Poza tym, ——— = — 1 jest liczbą całkowitą. Zatem, na mocy twierdzenia 3.5 B, stosujemy R

podstawienie: x^i +l = t^2,tj. x=(f	^J-l)^6 = ę>(t) ^>'(<) = 6(f^2-l)^S2<j iotrzymu.
			f 2 dt
	'1		n* -^1) J	W
3 f f ^dt , f ^dt . f ^dl	r^dt}	— 'I I	Jiii]__L
^3 [J(r-l)^j Jt-l J(r+1)^2			i-i	*+U
= 3-ln	Vi+v*-i	,ó^lC
	Vi+V*+i	1 «

43