051

)    VI. Pochodne funkcji postaci y=f(x)

Zadanie 6.13. Obliczyć pochodną funkcji y=e~^x. Rozwiązanie. Oznaczając -x = z otrzymujemy

	y=e^x,	gdzie z=
skąd	?l=e	. dz
	dz	’ Tx~~
a więc	dy_ ,	•(-l)“-«‘
	dx

Zadanie 6.14. Obliczyć pochodną funkcji y=e*^{xi 6x+l}. Rozwiązanie. Oznaczając 4x³-6x +1 =z otrzymujemy

	y = e^z, gdzie	z=4x^3-i
skąd	z
	dz ^6'
a więc	^W(I2*’-6)- dx	(12x^2-6)e

Zadanie 6.15. Obliczyć pochodną funkcji y=tg⁴ 2x.

skąd

Rozwiązanie. Jest to funkcja ciągła, jeżeli cos 2x^0. Można ją uważać za funkcji złożoną, która powstaje z superpozycji trzech następujących funkcji prostych:

y=z^4,	z = tg w, u	= 2x,
-^=4z^3	dz _ 1	du _=2
dz	du cos^2u'	' dx

, dy dy dz du

Stosując wzór —=— ■ — • -— otrzymujemy dx dz du dx

dx cos² u

a po pozbyciu się pośrednictwa zmiennych z i u otrzymujemy

8 tg³ 2x 8sin³2x

dy ,    1

/=4tg^s2*—j— -2--_r,---g—.

dx    cos 2x cos 2x cos 2x

Zadanie 6.16. Obliczyć pochodną funkcji

Rozwiązanie. Funkcja ta określona jest w przedziale 0<x<£. Można ją przedstawić ^ pomocą czterech funkcji prostych:

nu, u=yft, t=-

sk4^d

dy , dz    du 1 dt 1

— = 3z , —=cos u,    —=—— = —,.

dz    du    dt 2Vf    ^{dx x}

dy dy dz du dt

Stosując wzór    otr_Zymuj_em_y

“/    « 2    ¹ I

—=3z -cosu- p-I

dx    2sh '

Wracając do zmiennej x mamy

dy    I l-2x    /l—2x 1

—-=3sm /-

dx    V x

i ostatecznie otrzymujemy dy

^dx 2xVx(l-2x)’ Zadanie 6.17. Obliczyć pochodną funkcji x + l

. ₂ l—2x /l —2x

Rozwiązanie. Funkcja ta jest określona, gdy x<l. Stosujemy wzór (6.1.6) na pogodną ilorazu:

(x-H)'Vl—X —(x + l)(Vl —x)'

(VT^)²

2s/i-