054 2

106

VI. Pochodne funkcji postaci y=/(_x)

Zadania

107

— 6e'

a więc

Rozwiązanie. Mamy

da

i = — = 2e~'-2te~' = 2(l-t)e dt

Podstawiając £=0 otrzymujemy i = 2.

Zadanie 6.30. Potencjał elektryczny V wzdłuż pewnej drogi x zmienia się we||| wzoru K=x³-(x-l)² sin*. Obliczyć wartość składowej dV\dx natężenia pola elektry_cz. nego wzdłuż drogi jt w punktach * = 1 i x = 2.

Rozwiązanie. Mamy

dV ,    ,

-= 3x -2(x-l)sinx-(x-l) cosx.

dx

Podstawiając x = 1 otrzymujemy dV)dx= 3, a podstawiając x=2 otrzymujemy

-=12-2sin2-cos2= 12 — 2 sin 114°35'-cosl I4°35' =

dx

= 12-2- 0,9094 + 0,4160 = 10,6.

Zadanie 6.31. Prąd przepływa przez pewne urządzenie. Ilość przepływającej elektryczności, liczonej od chwili i=0, określa wzór

^B'³e""(¹+FTr)'

Obliczyć natężenie prądu dQ/dt w chwili początkowej f=0.

Rozwiązanie. Wartość natężenia prądu wynosi

JQ_

¹ dt

Natężenie prądu w chwili £ = 0 wynosi i = —15.

Zadanie 6.32. Strumień magnetyczny 0 obejmowany przez zwojnicę prądnicy 2j^11,enia się w zależności od kąta a obrotu twornika: 0 = 10 sin a Vs. Przy rozruchu twornik obrat-się ruchem przyśpieszonym, określonym równaniem a = 3(l — e~'^ll°) s^_l, gdzie t ozn&

czas. Wyznaczyć wartość siły elektromotorycznej £=—z— indukowanej w zWo|§| o ilości zwojów z = 8 po upływie czasu t₀ od chwili rozpoczęcia ruchu.

Rozwiązanie. Obliczamy według wzoru

Mamy    ₃

£=-z-10cosa- — e~'^no=-3ze~'^,locosct.

10

podstawiając z=8, r=£₀ otrzymujemy £=-24e"'^o/1° cos a.

Zadanie 6.33. Cewka o ilości zwojów z=5 obejmuje strumień elektromagnetyczny

dd>

sin(2t+$ri) Vs. Obliczyć siłę elektromotoryczną £=—z — dla z=5 i t=0. Rozwiązanie. Obliczmy pochodną

—=—4e 'sin(2H-i7r)+8e 'cos(2f+|ir), dt

E=4e~'z (sin (21+— 2 cos (21+.

Dla 1=0 i z=5 mamy

£=4-5(iV3-l)«-2,7V.

Zadanie 6.34. W cewce zmienia się natężenie prądu według wzoru /= 15 sin⁵3f, gdzie ,    di

i oznacza czas. Obliczyć dla chwilit=§n siłę elektromotoryczną indukcji własnej £ = -L —,

dt

gdzie indukcyjność £=0,03.

Rozwiązanie. Obliczmy pochodną

- = 15 • 5 sin⁴ 3t ■ 3 cos 3r=225 sin⁴ 3/ cos 31.

E=—L — = — 0,03 • 225 sin⁴ 3f cos 3t = - 6,75 sin⁴ 31 cos 3l. dt

t=|ji mamy

£ = - 6,75 sin⁴ f n cos |n = - 6,75 • £ • ( -^) = 1,9.

Zadanie 6.35. Przemianę adiabatyczną pewnego gazu określa równanie pV^l’*=10, J'^est to ciśnienie wyrażone w atmosferach, a V jest to objętość wyznaczona w metrach ściennych. W momencie gdy objętość gazu wynosiła V—\ m³, objętość powiększała ^{s,ę z} Prędkością dV/dt=0,02 m³/s. Z jaką prędkością opadało wówczas ciśnienie gazu? .. Rozwiązanie. Ciśnienie gazu wyraża się wzorem p= 10F^-1,4. Prędkość zmian ^aien'^a wyraża się wzorem

dV

Hi'

d<f>    d<P da.

^Z dt    da    dt

Odstawiając V—\, dV[dt=0,02 otrzymujemy — = — 0,28 atm/s.