056 3

110

VI. Pochodne funkcji postaci y=f(_x)

w czasie /, a y — drogę przebytą w tym czasie przez samolot. Odległość / między chodem i samolotem wyraża się wzorem l=\/x²+y²+H². Podstawiając x = 60l, y = i H=0,5 otrzymujemy

/ = 743 600/² + 0,25.

Prędkość poruszania się samolotu względem samochodu wyraża się pochodną dl _43600/

7i~ T '

Należy podstawić <=0,1. Otrzymujemy

c//_ 4360 dt v'436,25

= 209 km/h.

Uwaga. W zadaniu tym można by dla uproszczenia przyjąć H = 0, wówczas otrzy. malibyśmy l=\Jx²+y², skąd l=t \l'u]+vPrędkość względna wyraża się wzorem

co po podstawieniu daje dli dl = 743600 = 209.

Zadanie 6.40. Drabina o długości j=5m, oparta o ścianę budynku, zaczęła się obuwać. Przy kącie pochylenia drabiny a = 60° względem poziomu prędkość u obsuwania się podstawy drabiny od ściany wynosiła 0,5 m/s. Obliczyć prędkość obsuwania się wzdłuż ściany drugiego końca drabiny.

Rozwiązanie. Oznaczmy wysokość punktu oparcia drabiny o ścianę budynku przez> a odległość podstawy drabiny od ściany przez x. W momencie 1—0 mamy dane dxjdi=0,5 Na podstawie twierdzenia Pitagorasa mamy x² +y² = 25. Różniczkując względem czasu * otrzymujemy

O)

dx    dv

2x —+2y -=0. dl    di

Odległość podstawy drabiny od ściany przy a = 60° wynosi x=5 cos a = 5 cos 60®=f.

Wysokość punktu oparcia drabiny przy a = 60° wynosi y=5sina = 5sin60° = §,/3 . Otrzymane wartości wstawiamy do równania (1):

5J3 dy

■ 0.5 + —^— • — = 0. 2 dl

. ^ ^dy ,

skąd — = — — m/s. dl 6

Zadanie 6.41. Robotnik wciąga w górę kubeł z wapnem. Kubeł wisi na linie przerzuconej przez bloczek zawieszony na wysokości 8,5 m nad ziemią. Robotnik trzymając |_inę na wysokości 1,5 m przesuwa ją w rękach z prędkością 0,4 m/s, a jednocześnie cofa _się z prędkością 0,8 m/s. W momencie gdy kubeł stał na ziemi, robotnik był w odległości I m od kubła. Znaleźć prędkość kubła w chwili, gdy robotnik cofnie się o 4 m.

Rozwiązanie. Przyjmijmy układ współrzędnych jak na rysunku 6.7. Nie uwzględniając wysokości kubła przyjmujemy, że w chwili / = 0 kubeł ma współrzędne (0,0), a lina

w ręku robotnika ma współrzędne (1, 1,5). Długość liny od kubła do bloczka wynosiła 8,5 m, a od bloczka do ręki wynosiła

+(8,5 - l,5)^z = v/5Ó= 7,07.

Po upływie t s długość liny od bloczka do ręki wynosić będzie

7(1 +0,81)² +(8,5 -1,5)², czyli V0,64<² + l,6f+ 50, a więc wskutek cofania się robotnika, pionowa część liny skróci się o odcinek

70,641²+1,61+50 - 7,07.

robotnik w ciągu t s ściągnie 0,4/ m liny, więc ostatecznie y = 7o,64/² +1,6 / + 50 - 7,07+0,4 /.

^Aby znaleźć prędkość ruchu kubła obliczamy pochodną dy 0,64/+0,8

Ponadto

0)

**°boir

dt V0,64/² + l,6/ + 50

cofnie się o 4 m w ciągu 5 s. Podstawiając do wzoru (1) wartość /=5 otrzymu-

dy 0,64-5+0,8    4

—-=-—    +0,4=-—^+0,4 = 0,86 m/s.

^dt V 0,64 • 5² +1,6 • 5 +50    774