062 2

122

VI. Pochodne funkcji postaci >•=/(*)

Rozwiązanie. Siła działająca na ciało o masie m wyraża się wzorem F = tn Obliczmy pierwszą i drugą pochodną:

dy

= 3 • 3 • 5 sin² 5f cos 51=45 sin² 5f cos 5/,

d²y

45 (2 • 5 sin 5t cos² 5f - 5 sin³ 5t)=225 sin 5t (2 cos² 5t - sin² 5l) =

= 225 sin 51 (2-3 sin² 5t).

Siła działająca na ciało wynosi

d²y    ,

F=m    = 2250 sin 5f (2—3 sin² 5f).

Dla t=±n mamy F=2250sin ±7t(2-3sin² |n)=2250- i (2- j)= ^ = 1406 dyn. Zadania

Obliczyć drugą pochodną następujących funkcji (zad. 6.226 - 6.232):

6.226. y = arccosx.    6.227. y=arctg2x.

6.228. y=(arcsinx)².    6.229. y=ln(l+x²).

6.230. y = lnv'l+x².    6.231. y=xe^,iax.

6.232. y = e*^<x>, gdzie ę{x) jest funkcją różniczkowalną zmiennej x~

Znaleźć trzecią pochodną funkcji (zad. 6.233 - 6.235):

6.233. y=t/x*.

6.234. y=-

1 +x

6.235. y=sin(l —3x).

Obliczyć wartość drugiej pochodnej funkcji (zad. 6.236 - 6.239):

6.236.    y=arcsinx w punkcie x=0.

x +2

6.237.    y = -j—— w punkcie x=2.

x —3x

Wskazówka. Przedstawić y jako sumę ułamków prostych:

5    1    2 1

^y~l x^3~l' lc'

6.238.    y = tg²x w punkcie x=0.

6.239.    y = ln (x + y/x² +1) w punkcie x=0.

Obliczyć wartości trzeciej pochodnej funkcji (zad. 6.240 - 6.243):

6.240.    y=arcsin X w punkcie x=0.

6.241.    y=sinxcosx w punkcie x=0.

Wskazówka. Zastosować wzór sin xcos x=i sin 2x.

6.242.    y=tgx w punkcie x=0.

6.243.    y=arctg x w punkcie x=0.

6.244.    Obliczyć wartość czwartej pochodnej funkcji >=sin² x w punkcie x=0.

Dane są równania ruchu prostoliniowego s=f(t). Znaleźć wartości prędkości i przyspieszeń w podanych odpowiednio momentach t (zad. 6.245 - 6.250):

6.245.    s=3t-r* dla r-1.    6.246. s = /³ + 8/² + 5 dla t=-2.

6.247. j=(f+l)⁴—3(/ +1)³ dla t=-1.    6.248. s = 16t-^ dla t=-j.

6.249. s = f² + f"‘+3 dla t=i.    6.250. s=Vltⁱ — •Jit dla t=4.

Podać wzór ogólny na pochodną rzędu n następujących funkcji:

6.251. y=cos x.    6.252. y=x".

6.253. y = lnx.    6.254. y = _>/x.

6.255. y = \[x.    6.256. y=-i—.

^v    ax + b

6.257.    Wykazać, że funkcja y=ln \C_le* + C₂e~*\, gdzie C,, C₂ oznaczają stałe dowolne, spełnia równanie różniczkowe y" = 1 — (y')² (por. cz. II).

6.258.    Wykazać, że funkcja ^>=C,x²+2C,x+C₂, gdzie C,, C₂ oznaczają stałe dowolne, spełnia równanie różniczkowe (1 +x)y"=y'.

6.259.    Po okręgu x²+y²=a² porusza się punkt M ze stałą prędkością kątową co. Podać prawo, według którego porusza się rzut Af, tego punktu na oś Ox, jeżeli w chwili ^c=0 punkt M zajmował położenie (r, 0). Wyznaczyć prędkość i przyśpieszenie punktu

w chwili t. Obliczyć prędkość i przyśpieszenie w chwili początkowej i w chwili przerodzenia przez początek układu współrzędnych.

6-260. Koło rozpędowe puszczono w ruch. Po upływie czasu t obróciło się ono o kąt f^^a+bt—ct², gdzie a,b,c>0 są stałe. Określić prędkość i przyśpieszenie kątowe. Po Jikirn czasie koło przestanie się obracać?

6.261. Wykazać, że funkcja x=a sin (a>/+ <p₀) przy a, o), <p₀ stałych spełnia związek '^0wnanie różniczkowe) x=—a»²x.