062 2

062 2



122


VI. Pochodne funkcji postaci >•=/(*)

Rozwiązanie. Siła działająca na ciało o masie m wyraża się wzorem F = tn Obliczmy pierwszą i drugą pochodną:

dy


= 3 • 3 • 5 sin2 5f cos 51=45 sin2 5f cos 5/,

d2y


45 (2 • 5 sin 5t cos2 5f - 5 sin3 5t)=225 sin 5t (2 cos2 5t - sin2 5l) =

= 225 sin 51 (2-3 sin2 5t).

Siła działająca na ciało wynosi

d2y    ,

F=m    = 2250 sin 5f (2—3 sin2 5f).

Dla t=±n mamy F=2250sin ±7t(2-3sin2 |n)=2250- i (2- j)= ^ = 1406 dyn. Zadania

Obliczyć drugą pochodną następujących funkcji (zad. 6.226 - 6.232):

6.226. y = arccosx.    6.227. y=arctg2x.

6.228. y=(arcsinx)2.    6.229. y=ln(l+x2).

6.230. y = lnv'l+x2.    6.231. y=xe,iax.

6.232. y = e*<x>, gdzie ę{x) jest funkcją różniczkowalną zmiennej x~

Znaleźć trzecią pochodną funkcji (zad. 6.233 - 6.235):

6.233. y=t/x*.


6.234. y=-


1 +x


6.235. y=sin(l —3x).


Obliczyć wartość drugiej pochodnej funkcji (zad. 6.236 - 6.239):

6.236.    y=arcsinx w punkcie x=0.

x +2

6.237.    y = -j—— w punkcie x=2.

x —3x

Wskazówka. Przedstawić y jako sumę ułamków prostych:

5    1    2 1

y~l x^3~l' lc'

6.238.    y = tg2x w punkcie x=0.

6.239.    y = ln (x + y/x2 +1) w punkcie x=0.

Obliczyć wartości trzeciej pochodnej funkcji (zad. 6.240 - 6.243):

6.240.    y=arcsin X w punkcie x=0.

6.241.    y=sinxcosx w punkcie x=0.

Wskazówka. Zastosować wzór sin xcos x=i sin 2x.

6.242.    y=tgx w punkcie x=0.

6.243.    y=arctg x w punkcie x=0.

6.244.    Obliczyć wartość czwartej pochodnej funkcji >=sin2 x w punkcie x=0.

Dane są równania ruchu prostoliniowego s=f(t). Znaleźć wartości prędkości i przyspieszeń w podanych odpowiednio momentach t (zad. 6.245 - 6.250):

6.245.    s=3t-r* dla r-1.    6.246. s = /3 + 8/2 + 5 dla t=-2.

6.247. j=(f+l)4—3(/ +1)3 dla t=-1.    6.248. s = 16t-^ dla t=-j.

6.249. s = f2 + f"‘+3 dla t=i.    6.250. s=Vlti — •Jit dla t=4.

Podać wzór ogólny na pochodną rzędu n następujących funkcji:

6.251. y=cos x.    6.252. y=x".

6.253. y = lnx.    6.254. y = >/x.

6.255. y = \[x.    6.256. y=-i—.

v    ax + b

6.257.    Wykazać, że funkcja y=ln \Cle* + C2e~*\, gdzie C,, C2 oznaczają stałe dowolne, spełnia równanie różniczkowe y" = 1 — (y')2 (por. cz. II).

6.258.    Wykazać, że funkcja ^>=C,x2+2C,x+C2, gdzie C,, C2 oznaczają stałe dowolne, spełnia równanie różniczkowe (1 +x)y"=y'.

6.259.    Po okręgu x2+y2=a2 porusza się punkt M ze stałą prędkością kątową co. Podać prawo, według którego porusza się rzut Af, tego punktu na oś Ox, jeżeli w chwili c=0 punkt M zajmował położenie (r, 0). Wyznaczyć prędkość i przyśpieszenie punktu

w chwili t. Obliczyć prędkość i przyśpieszenie w chwili początkowej i w chwili przerodzenia przez początek układu współrzędnych.

6-260. Koło rozpędowe puszczono w ruch. Po upływie czasu t obróciło się ono o kąt f^a+bt—ct2, gdzie a,b,c>0 są stałe. Określić prędkość i przyśpieszenie kątowe. Po Jikirn czasie koło przestanie się obracać?

6.261. Wykazać, że funkcja x=a sin (a>/+ <p0) przy a, o), <p0 stałych spełnia związek '0wnanie różniczkowe) x=—a»2x.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
98 VI. Pochodne funkcji postać: >•=/(*) Rozwiązanie. Funkcja y jest ciągła, gdy x>0. Dzielimy
» Jeżeli siła F działa na ciało o masie m na odcinku dx to przyspiesza ruch ciała w tym czasie dzięk
054 2 106 VI. Pochodne funkcji postaci y=/(x) Zadania 107 — 6e a więc Rozwiązanie. Mamy da i = — =
100 VI. Pochodne funkcji postaci y—f(x) Zadanie 6.13. Obliciyć pochodną funkcji y=c~ . Rozwiązanie.
063 2 124 VI. Pochodne funkcji postaci y=f(x) 6.3. RÓŻNICZKOWANIE GRAFICZNE (O w dyjdx (7-1.1) Dany
94 VI. Pochodne funkcji postaci y—J (r) Zachodzą twierdzenia: (6.1.1) Jeżeli funkcja ma w danym punk
049 3 96 VI. Pochodne funkcji postaci y=f(x) (6.1.15) (arcsinx) = -=L=, —1<x<1,
)    VI. Pochodne funkcji postaci y=f(x) Zadanie 6.13. Obliczyć pochodną funkcji y=e~
053 2 105 ]04    VI. Pochodne funkcji postaci y=f(x) Zadanie 6.25. Zależność drogi s
056 3 110 VI. Pochodne funkcji postaci y=f(x) w czasie /, a y — drogę przebytą w tym czasie przez sa
058 2 114 VI. Pochodne funkcji postaci y=f(x) 6.75. y 6.77. y 6.79. y 6.81. y 6.83. u 6.85
059 2 116 VI. Pochodne funkcji postaci y=f(x) 6.140. }> = x3arctgx3. 1 acosx+b 6.143. y = —===.
060 3 VI. Pochodne funkcji postaci y=f(x) 6.209.    Wykazać, że styczna do hiperboli
063 2 124 VI. Pochodne funkcji postaci y=f(x) 6.3. RÓŻNICZKOWANIE GRAFICZNE (O w dyjdx (7-1.1) Dany
matma2 114 VI. Pochodne funkcji postaci y=f(x) 6.75. y 6.77. y 6.79. y 6.81. y 6.83. n 6.85. v&
matma3 116 VI. Pochodne funkcji postaci >•-/(.,) 6.140. y = x3arctgx3. 6.141. arcsin 4 y ”l

więcej podobnych podstron