049 3

96	VI. Pochodne funkcji postaci y=f(x)
(6.1.15)	(arcsinx)' = -=L=, —1<x<1, -itr<arcsinx^*jt. v 1 — x^2
(6.1.16)	(arccosx)' =-==., —1<x<1, 0<arccosx<łt. V1—x^2
(6.1.17)	(arctgx)' = ——-in<arctgx<iłt. l+x
(6.1.18)	(arcctgjr)' = 0<arcctgx<n.
(6.1.19)	(e*)‘=e*.
(6.1.20)	(a^x)' = a* ln a, a>0.
(6.1.21)	(In|*|)' = -, x#0.
(6.1.22)	, , 1 1 (log, x ) =——= — log„<?, a>0, fl^l, Xjt0. *lna x
(6.1.23)	(sinhx)' = coshx.
(6.1.24)	(cosh*)' = sinhx.
(6.1.25)	(Igh je)' — ‘ cosh x
(6.1.26)	(ctghx)'= . sinh x
(6.1.27)	, 1 (arsinh*) = r . VI+x^2
(6.1.28)	1 (arcoshx)' = ^==. , x#l.
(6.1.29)	(artghx)' = —i——1<*<1. 1 -X
(6.1.30)	(arctghx)' = -—*<-l lub x>l.
We wszystkich wzorach powyższych wielkości n, a oznaczają stałe: ln x oznacza I^0-garytm naturalny, tj. logarytm obliczony przy podstawie e (por. str. 33).

bujanie 6.1. Obliczyć pochodną funkcji

y = x⁷ — 4x⁵ + 13x⁴ — x +19.

Rozwiązanie. Mamy

y'=7x⁶ —4- 5x⁴ + 13 -4x³—1, czyli y' = 7x⁶-20x⁴+52x³-l.

Jadanie 6.2. Obliczyć pochodną funkcji

4x⁵ —2

^V2T7J'

Rozwiązanie. Wyłączamy stały czynnik ^    = przed znak pochodnej:

/= ₇i=(4x⁵-2)'=-^£==20x⁴V2-Vl.

V2+V3    V2+73

Zadanie 6.3. Obliczyć pochodną funkcji

4x⁷ +3x⁵—2x⁴+7x—2

Rozwiązanie. Funkcja y jest ciągła w całym zbiorze liczb rzeczywistych z wyjątkiem punktu x=0. Zakładając, że x^0, dzielimy licznik przez mianownik:

y=fx³+x-|+jx"³-|x"⁴.

Następnie obliczamy pochodną

y'=4x² + l—7x^-4+|x^-5.

Możemy ją napisać w postaci

7    8    12x⁷+3x⁵-21x+8

3x*

Zadanie 6.4. Obliczyć pochodną funkcji y=4x³N/x.

Rozwiązanie. Funkcja y jest ciągła, gdy x^0. Wyrażamy y jako potęgę zmiennej x: y = 4x³x^1/2=4x^3+ł = 4x^7/2.

Sezamy pochodną

/=4-’_x*-^l = 14x^ł=14x²y;.

Udanie 6.5. Obliczyć pochodną funkcji

3x²-4 x\fx*

2fx