0029

31

§2. Całkowanie funkcji wymiernych

Po obliczeniu w taki sposób wartości M i N, możemy także i tu wyznaczyć bez trudu wielomian P_t jako iloraz.

Przejdziemy teraz do dowodu twierdzenia wysłowionego na początku ustępu. Dowód sprowadzi się do kilkakrotnego zastosowania twierdzeń 1° i 2°, które pozwalają kolejno wydzielać ułamki proste z danego ułamka właściwego aż do jego wyczerpania.

Jeśli czynnik x—a wchodzi w skład Q tylko w pierwszej potędze, to na mocy 1° (dla k = 1) przyporządkujemy mu jeden jedyny ułamek prosty postaci

A

x — a

W przypadku gdy wykładnik potęgi wyrażenia x—a jest równy k > 1, wydzielamy na podstawie 1° ułamek prosty

Ak

{x-af ‘

Do ułamka, który pozostanie, zastosujemy znowu twierdzenie 1° i wydzielimy ułamek prosty

Ak-1

(x—ay~¹

itd., dopóki czynnik x—a w ogóle nie zniknie z rozkładu mianownika. Tak więc w rozpatrywanym przypadku czynnikowi (x- a)^k (k > 1) będzie odpowiadała grupa licząca k ułamków prostych

(5)

A i A2    Ah

Zastosujemy kolejno takie samo rozumowanie do każdego z pozostałych czynników liniowych, dopóki mianownik nie zostanie wyczerpany lub w jego rozkładzie nie pozostaną same czynniki stopnia drugiego.

Analogicznie, korzystając z 2°, czynnikowi kwadratowemu x²+px+q występującemu w pierwszej potędze przyporządkujemy jeden tylko ułamek prosty postaci

Mx + N x² + px + q ’

jeśli natomiast czynnik ten występuje w potędze m > 1 — grupę nt ułamków prostych ^Ml X + Nl + M₂x + N₂    M_mx + N_m

x²+px + q    (x² + px + q)²    (x² + px + q)^m '

To samo można zrobić z pozostałymi czynnikami kwadratowymi, jeśli takowe jeszcze są. Kończy to dowód twierdzenia.

275. Wyznaczenie współczynników. Całkowanie ułamków właściwych. Tak więc, jeśli znany jest rozkład (3), znane są tym samym mianowniki ułamków prostych, na które rozkłada się dany ułamek PjQ. Zajmiemy się wyznaczeniem liczników, tzn. współczynni-