10. Wyznaczyć kwadraturę 4-punktową (3. stopnia) Gaussa. Obliczyć za jej pomocą całkę
J 3 -5 sin
^ 7DC^
dx.
v
Kwadratura 4-punktowa: I(/) = AJxq) + A \f(x\) + Ai/{xi) + Ayf[x3). Dla kwadratury Gaussa procedura jest następująca:
a) Obliczamy N + 2 wielomianów ortogonalnych - u nas będzie to 5 wielomianów (od 0-wego do 4-tego),
2i-l i-1 „
bo N = 3. Najłatwiej - wielomiany Legendre’a: Po = 1, Pi = x, Pt = —:—x • P
/-i
1
■ i-2
=> p2 =
2-2-1 2-1 3 2 1
--x-x---1=—x--, P, =
2 2 2 2 3
2-3-1 (
-x -
3 V.
3-1 5 3 3
--X — — X X,
3 2 2
2-4-1
4
-x
f5 3 |
3 ^ |
4-1 |
f3 2 |
n |
— X |
--X |
— |
— x |
— |
V2 |
2 J |
4 |
l2 |
2) |
35 4 = —x 8
b-a
a + b
15 2 3
— x + -4 8
b) Kwadratura 4-punktowa Gaussa dla wielomianów Legendre’a ma postać:
I (/)
b-a
AJ
-x0 +•
3 (b
+ - + AJ -
■ a
-x3 +-
V
(4 składniki, każdy odpowiada kolejnemu węzłowi od 0-wego do 3-go) c) Węzły są pierwiastkami najwyższego wielomianu ortogonalnego - u nas P4.
35 4 15 -> 3
— x--x“ +- = 0
8 4 8
Xn
f 15^| | |
l 4j |
2-
35
= -0,861, x, = -
-J~A =
F |
151 |
2 35 4. |
3 |
V |
4 J |
48 |
8 |
k 4 |
2-
35
= -0,340 , x0 =
r 15^1 | |
1 |
1 |
-■JT,5
2 • — 8
= 0,340,
Xa
f 15^| | |
+
2-
35
= 0,861
d) Współczynnik /17 =
a
N
k
N-1
aN-\ V'N(Xi)VN-1(*/)
, gdzie:
- a,M - współczynnik o najwyższej potędze w najwyższym wielomianie - u nas w Pą, więc an = 35/s;
- - współczynnik o najwyższej potędze w przedostatnim wielomianie - u nas w P3, więc <x\'-i = 5/i',
- || '//v-i||2 - kwadrat normy przedostatniego wielomianu, u nas Py, dla wielomianów Legendre'a
|PJ“ =——— (nonua liczona bez zamiany przedziałów - inaczej, niż w zad. 7! - wypada tu czynnik
2i +1
—— ), więc P3 =
2-3 + 1 7
35 15
- i//’n - pochodna ostatniego wielomianu (P ’4) po x kolejno dla x = xo, ..., x3: P\ = —x~ - — x,
- 1//N-1 - wartość przedostatniego wielomianu (P3) kolejno dlax = xo, ...,x3.
35 2
Stąd Aj =
5 |
f 35 3 |
15 ^ |
f5 3 |
3 |
— |
— xi - |
-- |
— X, |
—xi |
2 |
l2 |
2 J |
l2 |
2 •) |
5x,2(7x,2 -3)(5x,2 -3)
A o = A(x 0) = 0,3479, A, = A(x,) = 0,6521, A2 = A(x2) = 0,6521, A3 = A(x3) = 0,3479
12