10. Wyznaczyć kwadraturę 4-punktową (3. stopnia) Gaussa. Obliczyć za jej pomocą całkę
6/
I
3 -5sin
f nx^
dx.
\ •+
y
Kwadratura 4-punktowa: I(/) = Aq/(xo) + A\fix\) + A2f[x2) + A3f(x3). Dla kwadratury Gaussa procedura jest następująca:
a) Obliczamy N + 2 wielomianów ortogonalnych - u nas będzie to 5 wielomianów (od 0-wego do 4-tego),
2/ -1 i-1
bo N = 3. Najłatwiej - wielomiany Legendre'a: Po = 1, P\ -x, Pt = —-—x ■ Pt_x -
P.
7-2
l
=> P2 =
/
2 2
A 3-1
5 3 3
X = —x —X, 2 2
2-4-1 (5 , 3 ^ 4 — 1^3 2 O
— x“--
— X v2
35 4 15 2 3
= —x--x“ + —
8 4 8
b) Kwadratura 4-punktow;a Gaussa dla wielomianów Legendre'a ma postać:
I (/) =
a
?
A0f
b-a
v 2
x0 +
a + b\ J /b-a + - + A3/
2 y
V
a + b\
2 y
(4 składniki, każdy odpowiada kolejnemu węzłowi od 0-wego do 3-go) c) Węzły są pierwiastkami najwyższego wielomianu ortogonalnego - u nas P4.
35
8
4 15 2 3
x--x +- = 0
4 8
■~=slT.5
-yfi3
*0 =
X0 =-
{ 11 , 4. |
+ V?>5 | |
1 2.^ 1 " 8 | ||
f \ |
j 4) |
+ V7j |
= -0.861, x, =
2-
35
8
= 0.861
15
4
2-
8
= -0,340. x0 =
1
/
V
15
4
?.
35
8
= 0,340.
d) Współczynnik A, =
a
N
\Vn-\
, gdzie:
<*N-\ V'n
- a,\ - współczynnik o najwyższej potędze w najwyższym wielomianie - u nas w P4, więc a,y = 35/s;
- ćf.\_i - współczynnik o najwyższej potędze w przedostatnim wielomianie - u nas w P3, więc a\>-\ = 5/2',
- ||^v-i||2 - kwadrat normy przedostatniego wielomianu, u nas Py, dla wielomianów Legendre'a
,2 2
2/ + 1
(norma liczona bez zamiany przedziałów - inaczej, niż w zad. 7! - wypada tu czynnik
a ~ b . 2
—— ),więc P3
2-3 + 1 7
35
- yA ~ pochodna ostatniego wielomianu (P 4) po x kolejno dla x = xo, ..X3: P\ = —x3--x,
- y/s-t ~ wartość przedostatniego wielomianu {P3) kolejno dlax = xo, ...,X3.
Stad A = 4 7 2
15
y
)
j 3 3
— x. —x
' 5xfOx?-3)(5x?-3)
2 2 j
A0 = A(x 0) = 0,3479, A, - zł(x,) = 0.6521. A2 = A(x2) = 0,6521, A3 = A(x3) = 0,3479
\
12