CCF20090601010

9. Wyznaczyć kwadraturę 4-punktową (3. stopnia) Newtona-Cotesa. Obliczyć za jej pomocą całkę

| 3-5sin

dx.

V * ))

Kwadratura 4-punktowa: I(/) = Aq/(xo) + A\f(x\) + A-)j{xi) + Ajfipc₃). Dla kwadratury Newtona-Cotesa węzły są równoodległe. Współczynniki A_t = J /,(x)dx, l, - składniki wielomianu interpolacyjnego

(x - l)(x - 2)(x - 3)    1

Lagrange’a3. stopnia dla węzłów równoodległych: /₀(x) = ———— = - — (x -l)(x - 2)(x -3) ,

(x -Q)(jt - 2)(x - 3)    ₌l_ , _(jc-0)(x-1X*-3) ₌    _

¹    (1 -0)(1 -2)(1 -3)    2    ²    (2 — 0)(2 —1)(2 — 3)    2

/₃(x) =

(x-0)(x-l)(x-2) _ 1 (3 - 0)(3 -1)(3 - 2) ^_ 6

x(x-l)(x-2). Jeśli węzły są równoodległe, całkę mnożymy przez

b-a

N

(N - stopień wielomianu; u nas N = 3), a granice w całce zmieniają się następująco: a —» 0, b -» N.

Wtedy W=Atfx₀)+A_l/(x_]) + A₇flx2)+Atfx3).

A₀ =

b_-a |-3_(£zIfc2X£Zi)* ₌    f^J(x3 _ _fa2 ₊,,_v_    ₌

3 ^Jo    6    18 ^Jo

b-a

18

—x⁴ -2x³ + —x~ — 6x

Jo

b-a

18

—-3⁴ -2-3³ + —-3² -6-3 4    2

b-a

81

99

\

18

54 +--18

V 4    2

b-a

8

4 =

b - a <*3x(x - 2)(x - 3) b-a fi

b-a

—-3⁴ - —-3³ + 3-3² 4    3

dx - —— |_Q(x³ - 5x² + 6x)dx =

3

b-a

81

b-a

■45 + 27

1 4    5 3    _ 7

— x —x + 3x 4    3

A₂ =

b - a fi x(x - l)(x - 3) 3 Jo    2~

Jo b-a r3

= —(b — a) 8

b-a

1 o4 4 -?3    3 _,₂

— • J---3 -I---j

4    3    2

dx =---— (x³ - 4x² + 3x)dx = -

3

b-a

1 4    43    3 2

— x —X +—X

4    3    2

Jo

o

b-a( 81    27

■36 + — 4    2

dx =-— f (x³ - 3x² + 2x)dx =

18 ^Jo

b-a

18

-—(b-a)

8

1 4    3    2

— X -X +x

4

13

b-a fix(x -l)(x -2) b-a fi

3 ^Jo

b-a 18	^1-3^4 3^3 + 3^24	^3 b-a 0” 18	f—-27 + 9^ U j
I (f) = (b-a) \	~ f(x 0 ) +1 /(x,) +1 f(x2) + ^ /(x3 )1 O OO O J

b-a

Całka J |^3 -5 sin

dx : b = 6, a = 0, f(x) = 3 - 5 sin

V * ))

( _.y\ ;zx

^ 7TK

4 węzły równoodległe od xq do X3

x = [0, 2, 4, 6]; f(x) = 3-5sin

n ■ [0,2,4,6]

= [3,-2,3,8]

1

14

I(/) = (6-0) — 3H---(—2)-t---3 + —-8 =6 — = 10,5 (wartość dokładna 11,6338)

8

8

8

8

8

11