CCF20090601010

9. Wyznaczyć kwadraturę 4-punktową (3. stopnia) Newtona-Cotesa. Obliczyć za jej pomocą całkę

3 - 5 sin

^f 70^

dx.

o

Kwadratura 4-punktowa: I(/) = Aq/(xo) + A\f(x\) + Axf(x₂) + /l₃/(x₃). Dla kwadratury Newtona-Cotesa węzły są równoodległe. Współczynniki A_t = J*/, (x)dx, /, - składniki wielomianu interpolacyjnego

Lagrange'a 3. stopnia dla węzłów równoodległych: /₀(x) = |q    ⁼    ~ 2)(* ^-3)»

_ (x-0Xx.-2Xx-3) . 1    _    _    _ (x-0Xx-_l)(x_z3) __ 1    _

(1 — 0)(1 — 2)(1 — 3)    2    ²    (₂ — 0)(2 —1)(2 — 3)    2

/₃(x) = ——--^'^Y -—— = — a:(x — 1)(jc — 2). Jeśli węzły są równoodległe, całkę mnożymy przez (3 - 0)(3 -1)(3 - 2)    6

b-a

N

(N - stopień wielomianu; u nas N= 3), a granice w całce zmieniają się następująco: a —» 0, b —> N.

Wtedy \{f) = Aq/(xo) + A ,/(xi) + A₂/(x₂) + A^x₃).

A o -

b-a r3 (x-l)(x-2)(x-3)

o — a

3

b-a ri

dx =--f (x³ - 6x² +1 lx - 6)dx = -

18 J0^{V    7}

18 ^Jo

b-a

18

I4 _    1,    11?    ^

—x -2x H—x -6x

Jo

b-a

18

— -3⁴ — 2• 3³ + —-3² -6-3 4    2

b-a( 81    _r/1    99 _1G^ b-a

--54 +--18

4    2

-ti

Jo

18

\

8

b-a r3

f^3(x^J - 5x^2 + 6x)dx = -——	1 4 5 3 2 —x —X + 3x
Jo^v 6	[4 3

o

4₌*z£f*(*-²X*-3),fr,

3 ^Jo 2

b-a    x(x - l)(x - 3)

f-

Jo

— ~^dX =

^b~^a 1-3-*---3³ +--3-

4    3    2

^{h a} \y - 4x² + 3x)dx = - —-

6

-3

. o

b-a( 81    27

--36 + —

4

\

2 /

1 4    4 3    3 2

—x —x + -x 4    3    2

-i3

Jo

Ą =

I

dx =-f(x³ - 3x² + 2x)dx =

18 ^Jo

b-a

18

= -(b-a)

8

1 4    4    2

-X -X + x

4

Jo

b-a	1 -.4 5 3 2 — o---j + 3-3	^3=^A-^af^81 -45 + 27j
6	[4 3	0 6 U J

= -(b-a) 8

?

b-a f3x(x-l)(x-2) , b-a <*3 ₃

3 ^J°

_ b-a 18	^1 -3^4 3^3 +3^2_4	^J b-a 0” 18	^^81-27 + 9] U J
I (f) = (b-a) \	£ /(* 0 ) + -- /(x,) + ^ /(x2) + ^ /(x3)

b-a 8 "

6/

3-5sin

V J)

Całka J

o v

/

7CC

dx: b = 6. a = 0, /(x) = 3 - 5 sin — ,4 węzły równoodległe od xo do x₃

x = [0, 2, 4, 6]; f(x) = 3-5sin

a-[0,2,4,6]

\

= [3.-2,3.8]

\

/

/ 1    ^    o    1

I( / ) = (6 -0) — • 3 + — • (-2) + — ■ 3 + — • 8

U    8    8    8

= 6—= 10.5 (wartość dokładna 11.6338) 8

11