0635

637

§ 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek

Zbadamy dopuszczalność zmiany kolejności całkowania. Łatwo jest sprawdzić, że dla 0<a<A< + oo zachodzą równości

en

!

sinx

dx

A    oo    co A

= J sin x dx J e~^XJdy = f dy J

*    0    0 o

e~**ńnxdx =

sin a 4-cos a l+y²

e-’~

ysin/ś+cosA __^,i

i+y² J

dy =

(D    00    CO    00

= sin a f —e~^vdy+cos a f —e~^m,dy—s\a A f —- e~^ATdy—cos A f    — e~^A,dy.

J l +y^ł    J 1+y²    J 1+y²    J 1+y²

O    O    0    o

Dwie ostatnie całki są zbieżne jednostajnie względem A (dla A>A₀>0) Przechodząc w nich pod znakiem całki do granicy przy A-*- oo widzimy, że obie one dążą do 0. Druga całka, zbieżna jednostajnie względem a (dla a>0), dąży oczywiście do rr/2, gdy a -► 0. Pozostaje do sprawdzenia, że pierwsza całka, pomnożona przez sin a dąży przy tym przejściu granicznym do 0. Obliczamy:

w    w    a    w

f —e~ⁿdy = f ■ ■ ¹ — e~'dt — f + f ,

o

i i

J 1+y¹    J a²+r² J J

a^r

O O

Stąd już wynika potrzebny wniosek.

§ 4. Uzupełnienia

525. Lemat Arzeli. Wprawdzie dla obliczeń wystarcza najczęściej materiał wyłożony w pierwszych trzech paragrafach, to jednak przy rozważaniach teoretycznych potrzebne są czasami pewne subtelniejsze twierdzenia, które zresztą pozwalają podać prostsze warunki stosowalności rozpatrzonych operacji.

Zaczniemy od udowodnienia pewnego pomocniczego twierdzenia o układach przedziałów; autorem jego jest Arzela.

Lemat. Niech w skończonym przedziale domkniętym <a, ó> będą zawarte rodziny D_t, D₂, ..., D_k, ... przedziałów, z których każda składa się ze skończonej liczby przedziałów domkniętych nie zachodzących na siebie. Jeśli suma długości przedziałów każdej rodziny D_k (k - 1, 2, 3, ...)jest większa od pewnej liczby dodatniej 6, to istnieje co najmniej jeden punkt x = c należący do nieskończonego zbioru rodzin D_t.

Dowód. Jeżeli jakiś przedział pewnej rodziny D_k (k >1) zachodzi na przedziały rodzin poprzedzających Di, ...,D_k-1 i ich końce dzielą go na części, to częśc i te będziemy też uważali za przedziały rodziny D_k. W ten sposób, jeśli d' jest przedziałem rodziny D_k., a d" przedziałem rodziny D_k.. i jeśli k'<k", to albo d' i d" nie zachodzą na siebie, albo d” jest zawarte w d'.

Rodzina D_k+i może oczywiście nie zawierać się w rodzinie poprzedniej D_k. Ponieważ jest to okoliczność niewygodna, więc zastąpimy rodziny D_k przez inne rodziny przedziałów domkniętych A_k według następującej reguły: aby otrzymać Ą dołączamy do rodziny D_k przedziały rodziny D_k+ Ł nie zawarte w D_k, następnie przedziały rodziny D_t+1 nie zawarte w A, i w D_k+_u itd. do nieskończoności.

Zbudowana w taki sposób rodzina A_k może już zawierać nieskończoną liczbę przedziałów. Za to jednak 1) każdy z przedziałów rodziny A_k+l jest na pewno zawarty w jednym z przedziałów rodziny A oraz 2) suma długości (ściślej mówiąc, suma szeregu długości) przedziałów tworzących A_k jest nada większa od ó, tak jak to było dla D_k.

Następny krok będzie polegał na tym, że rodziny A_k zastąpimy przez ich części skończone zachowując jednak przy tym pierwszą z wymienionych własności rodzin A_k. Zrobimy to w sposób następujący.