0633

§ 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek

635

Ponieważ

l+x

więc podstawiając tę całkę za nadamy całce J postać

J = j cos jix dx J e~^xr sin y dy.

o    o

Zmieniając kolejność całkowania otrzymujemy

/-/ sin y dy j e-cos fixdx-J    d, - J śggL dx.

0    0    O "    o

Ale ostatnia cftłka różni się od dJjdp jedynie znakiem, a więc J spełnia proste równanie różniczkowe

-J, skąd J = Ce-'. dp

Ponieważ dla P — O jest / — C = y n, więc ostatecznie J = y ne~f .

Trzeba jeszcze tylko uzasadnić, że wolno było zmienić kolejność całkowania. Jeśli 0<a<jś<H-oo, to łatwo przekonać się, że zachodzą następujące równości:

A    A    ao    CO    A

J cos d* _ j _cos p_x f/_x J _e-*r _sj_n y jy — J _sj_n ydyj e~^xt cos Pxdx *=

a    0    0    a

= f° ;i_n ]■ [ ^sin P^A-y ^cos P^A c-*’ P^łin P^a~^y cos (-«>! dy -

J L y²+P*    **+?* J

0

^{= /,Sin}^ I y^^e-^A,^-^cos^ f jĘfie-*’dy-Psin Pa f -Ę^e-'dy+ 0    0    o

+«■/»• / j$r

0

Wszystkie całki są zbieżne jednostajnie — odpowiednio względem a i A, można zatem przechodzić do granicy dla a -> O i A -* oo pod znakiem całki. Widać, że przy tym podwójnym przejściu do granicy

«

/v sin v —y—dy.

o y '^x

10) Opierając się na innej tożsamości

CO

Y* T = f ^e~’ sin xy dy l+x*

możemy napisać

J

= j    dx J r* sin xy dy.

0    o