0609

611

§ 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek

jest zbieżna jednostajnie względem y w tym samym przedziale. Wówczas przy dowolnym y z przedziału <c, dj prawdziwy jest wzór

oo

I'(y) = f fy(x, y)dxC).

Weźmy dowolną wartość y = y₀ i rozpatrzmy wyrażenie

(12)

Hyo+k)-I(yo) ₌ r f(x,y₀+k)+f(x,y₀) ^ k    J    k

Pokażemy, że dopuszczalne jest tutaj przejście do granicy przy k -¹ 0 pod znakiem całki. Widzieliśmy już w ustępie 507, że jeżeli obszarem zmienności x jest przedział skończony

{a, Aj, to przy k -¹ 0 funkcja podcałkowa J^,o+fe.)~/(^x;.i!p) dąży do funkcji granicz-

k

^nej fy(x, y) jednostajnie względem x. Aby móc stosować twierdzenie 1, musimy się jeszcze upewnić, że całka (12) jest zbieżna jednostajnie względem k.

Ponieważ całka (11) jest zbieżna jednostajnie, więc dla dowolnego e > 0 można znaleźć takie A₀^a, że jeśli A' > A > A₀, to

A.'

(13)

| / /,(¹> y) dxj < e

od razu dla wszystkich y [514]. Pokażemy, że jednocześnie jest też

(14)

y₀+k)-f(x,y₀)

dx

< e

dla wszystkich wartości k.

W tym celu ustalając A i A' weźmy funkcję

A'

*00= / f(x, y) dx.

A

Z twierdzenia 3 z ustępu 507 wynika, że pochodną tej funkcji można obliczyć według reguły Leibniza

A¹

*'00= / fy(x, y) dx .

A

Pochodna ta jak widać z (13) ma wartość bezwzględną mniejszą od £ i wobec tego wyrażenie

4>(yo+k)-<t>(yo)

k

f

f(x,y₀+k)-f(x,y₀)

k

dx,

które zgodnie z twierdzeniem Lagrange’a jest równe d>'(y₀ + Qk), ma także wartość bezwzględną mniejszą od £. Nierówność (14) jest zatem spełniona i zgodnie z kryterium z ustępu 514 całka (12) jest zbieżna jednostajnie. Dowód jest tym samym zakończony.

1

Wzór ten także nazywa się regułą Leibniza.