0611

613

§ 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek

wej strony można przejść do granicy przy A -* oo pod znakiem całki, a więc

i A    i 00

lim Jdyf /(x, y)dx = f dy f f(x, y) dx .

ca    ca

Istnieje tym samym granica przy A -* oo całki z prawej strony, tzn. całka

00 d

J dx Jf(x,y)dy,

a c

i ma tę samą wartość.

Korzystając z uwagi do twierdzenia 2 z ustępu 520 można wyprowadzić stąd następujący wniosek.

Wniosek. W przypadku funkcji nieujemnej f{x,y) sama ciągłość całki (1) względem y pociąga za sobą równość (15).

Okazuje się więc, że — przy znanych nam założeniach — można przestawiać dwie całki, z których tylko jedna jest rozciągnięta na przedział nieskończony, a druga — na skończony.

W wielu przypadkach jednak potrzebne jest przestawienie dwu całek rozciągniętych na przedział nieskończony według wzoru

00    OO    00    00

(16)    I dy J f(x, y) dx = / dx j /(x, y) dy .

ca    a c

Uzasadnienie takiej zmiany kolejności całek jest często skomplikowane i trudne — czytelnik będzie się o tym mógł przekonać dalej na wielu przykładach.

Jedynie dla wąskiej klasy przypadków można udowodnić wzór (16) ogólnymi rozważaniami.

Twierdzenie 5. Załóżmy, że funkcja f (x, y) jest określona i ciągła dla x ^ a i y > c i że obie całki

00 00

(17)    j f(x,y)dx i jf(x,y)dy

a    c

są zbieżne jednostajnie — pierwsza względem y, druga względem x — w dowolnym przedziale skończonym. Wówczas jeśli istnieje co najmniej jedna z dwu całek iterowanych

00 00 00 00

(18)    / dy j |/(x, y)| dx, f dx f |/(x, y) \dy,

ca    a c

to istnieją i są równe całki iterowane (16).

OO

Przypuśćmy, że istnieje druga z całek (18). Wobec jednostajnej zbieżności całki J /dx

a

dla dowolnego skończonego C > c zachodzi — zgodnie z poprzednim twierdzeniem — równość

C 00    oo C

j dy j /(x, y)dx = J dxj f(x, y) dy.

c ii    a c