0623

625

§ 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej caiek

Można je scałkować w zwykły sposób rozdzielając zmienne. Aby uniknąć posługiwania się logaryt-mami liczb zespolonych, można sprawdzić bezpośrednio, że

db

(w]/a—bi) — 0,

jeżeli funkcja w spełnia dane równanie. Stąd

w}/a—bi = c = const.

Przyjmując 6 = 0 znajdujemy c = Prc/2, a więc

H, = l^L. ¹    . = V” . Va-bi

2    ^ a—bi    2    ^a²Ą-6²

Przez y/a±bi oznaczamy tu tę gałąź pierwiastka, która dla 6 = 0 jest pierwiastkiem arytmetycznym z a. Wiadomo, że (')

_VOT= ^ JtL^EL+i^ jz£±J^±EL,

tym samym

* = i-i/JL (W£±y<+^b2 _+i i/~^a+ fe-⁶²-\ .

2 V 2 \ [/    a² + b²    y    a² + b²    )

^! + 6²    y    a² + b²

Przyrównując oddzielnie części rzeczywiste i urojone otrzymujemy

^r,2+b²

u = f cos bx²dx = — l/ — l/

'    2 ^ 2 J/    o² + 6²

v = f e~“*² sin bx²dx = — "\f^- "I / —^a—^-{    2 \ 2 \ a² + t

+b² + b²

Wzory te wyprowadziliśmy przy istotnym założeniu, że a> 0. Ponieważ jednak obie całki są funkcjami ciągłymi a w punkcie a = 0 (łatwo się o tym przekonać za pomocą twierdzenia 2 [patrz też 515, 4°]), to przechodząc w otrzymywanych równościach do granicy przy a -*■ 0 znajdujemy (jeżeli 6>0)

J Cos bx²dx — j sin bx²dx — — l/. oo    r

Są to całki Fresnela (por. 522, 5°).

9) Pokażemy, że za pomocą równania różniczkowego mogą być łatwo obliczone całki Laptace'a [por. 522, 4°]:

> = I-^J^fdx («,/?><».

J orĄ-x²    J ar + x²

Widzieliśmy już, że

(*) Pisząc l^/Vi-6i = x-\-yi, obliczamy a = x²—y², b — 2xy. Stąd

y=±'j/^±^

•* = ±

+6²

W obydwu pierwiastkach zostawiamy znak +, bo xy = \b>Q i przy tym dla 6 = 0 ma być x = +Ja.

40 Rachunek różniczkowy