0615

617

§ 3. Wykorzystanie zbieżności jednostąjnej całek

jest zbieżna jednostajnie względem a, ponieważ majoryzuje ją całka je^-** dx nie zawie-

o

rająca a.

Zatem dla a > 0 jest

dl k da    a²+k²

Całkując względem a otrzymujemy

r    * ^a

I = arctg-p

Stałej całkowania nie trzeba tutaj wprowadzać, bo obie strony są równe zeru, gdy a = 0.

Otrzymaliśmy ten wzór przy założeniu, że k > 0. Ale jeżeli a = const, to całka / jest funkcją k ciągłą także w punkcie k = 0 — wynika to na podstawie twierdzenia 2 ze zbieżności jednostajnej względem k całki I przy k ^ 0 [patrz 515, 4°]. Innymi słowy

I₀ = lim I,

*-+o

Jeśli a > 0, to

I₀ = lim arctg-£- = arctg(-fco) = -L*.

*-+o    ^K

W szczególności dla a = 1 jest

/-Si*.*-

0

3° Całka Eulera-Poissona [por. 492, 2°]

00

J = J e~^x2dx .

o

Podstawmy tu x = ut, gdzie u jest dowolną liczbą dodatnią. Otrzymamy

00

J = u J e~^uH'dt.

0

Pomnóżmy teraz obie strony tej równości przez e~^u% i scałkujmy względem u od 0 do oo,

CO    CO    00

J • j e~^uldu = J² = J e~^u2u du j e~"^2,2dt.

o    oo

Łatwo dostrzec, że przestawienie całek prowadzi tu od razu do wyniku. Otrzymujemy w ten sposób

-4

0    0    O

Ponieważ oczywiście jest J > O, więc

OO    /—»

J = / e-^xl dx = jĘ- . o    ²