0617

§ 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek

619

zatem

,_ 00 0°

y = J    J e-*²*¹-^² dz (t = z²) .

Korzystając jeszcze z wyniku przykładu 8) z ustępu 497 otrzymujemy ostatecznie

y = -s—    •

' 2oc

Drugą całkę Laplace’a otrzymujemy z pierwszej różniczkując względem parametru P

dy    tu

2 =b--— = — e *".

dli    2

Stosowanie reguły Leibniza jest tu dozwolone, bo całka jest zbieżna jednostajnie względem p dla p ^ p₀ > 0 [517, 16)].

5° Całki Fresnela

00 00 J sin x²dx, J cos x²dx .

Podstawiając x² = t otrzymujemy 00

C ■    ■> j 1 C sin t . C , ,    1 f cosi .

j s.n*V*-_T J -Jf-ir. J cosX¹ dx = — J ~jj-■

0    0 V    0    0    "

Będziemy szukali wartości pierwszej z tych całek w postaci przekształconej. Zastępując wyrażenie l/j/7~ pod znakiem całki przez równą mu całkę

oo

i _ _2_ r

I/t    |/tc J

j/t |/tt J

nadamy obliczanej całce następującą postać:

'du,

CO    00    OO

f —dt = —^ f sin t dł f e~^,u2 du .

J /T y/n J    J

0 v    V o    o

Zmiana kolejności całkowania pozwoliłaby obliczyć tę całkę od lazu

00    00    00    co

f dł - ~^=r f du f e~‘"² sin t dt = -^=- ( ■    =

₀^J Irt    |/tc J J    y/n J 1 + "⁴

₌ 2 .    -    ₌

]AT 2/2 V 2

(') Patrz ustęp 472, zad. 2) lub ustęp 491, zad. 7).