0621

623

$ 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek

5) (a) Obliczyć całkę J * J e~*² cos 2bx dx.

o

Rozwiązanie. Różniczkujemy

•4r- — ^— f ^e~** 2jc sin 26* dx . nh    *

Całkując przez części otrzymujemy teraz

— - -Ib f e~^xl cos 2bx dx - -2bJ. db    i

Otrzymaliśmy w ten sposób dla funkcji J równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych [358]. Całkując znajdujemy

/ = Ce'*’.

Ponieważ dla b — 0 musi być J = l/w/2, więc C *= Kn/2. Ostatecznie

/ =

2

[por. 519, 6) (a)].

o

(b) Jeżeli w ten sam sposób będziemy obliczali całkę H= J e-*¹ sin 2bx dx, to dojdziemy do równa-

o

nia różniczkowego

dH

db

+ 2bH= 1 .

Mnożąc obie strony tego równania przez e*^J otrzymujemy z lewej strony pochodną iloczynu e**H względem b. Całkując obustronnie od 0 do b znajdujemy

SH = / ł'db 0

(skorzystaliśmy z tego, że H ** 0 dla 6 = 0). Stąd

H = e-"¹ f e'*dt.

O

Całka ta wyraża się zatem przez nową funkcję nieelementarną

<p(x) = J

[por. 519, 6) (c)].

6) Obliczyć całkę (o, ó>0)

/ e-^x'“^,x2dx.

0

Rozwiązanie. Szukana całka tylko czynnikiem 1 /j/a różni się od całki

/ = J e->²-^cl'^fldy, o

gdzie c¹ = ab (podstawienie y = ^ax ). Obliczamy:

"- = -2c (V'³-'^,"²4-= -2 f e-^dz =-2J

dc    J    yr    J