0584

586

XIV. Całki zależne od parametru

§ 2. Zbieżność jednostajna całek

513. Definicja całki zbieżnej jednostajnie. Aby wyłożoną teorię rozciągnąć na przypadek całek niewłaściwych, trzeba wprowadzić pojęcie zbieżności jednostajnej całki, które będzie tu grało ważną rolę. Wyjaśnimy więc najpierw to pojęcie.

Załóżmy, że funkcja / (x, y) określona jest dla wszystkich wartości x > a i wszystkich wartości y z pewnego obszaru y. Załóżmy dalej, że dla każdei wartości y z obszaru y istnieje całka

OD

(1)    / 0’) = / /(x, y) dx .

Zgodnie z definicją całki niewłaściwej o nieskończonej granicy górnej (patrz ustęp 470)

oo    A

f /(x, y) dx = lim J f(x, y) dx .

a    A—co _a

Wobec tego całka

A

(2)    F(A,y) = J f(x,y)dx .

a

będąca funkcją zmiennych A i y, ma jako granicę — przy y = const i A -* oo — całkę I (y). Jeżeli całka (2) dąży do I (y) jednostajnie ze względu na y w obszarze y, to całkę I (y) nazywamy zbieżną jednostajnie względem y w obszarze Q/.

Zbieżność jednostajna całki (1) oznacza więc, że dla dowolnego e > 0 można znaleźć taką liczbę A₀ > a niezależną od y, że jeżeli A > A₀, to nierówność

00    A    00

I J f(x, y)dx- J /(x, y) dx\ = | / /(x, y) dx\ < e

a    a    'a    ¹

jest spełniona jednocześnie dla wszystkich y z obszaru Q/.

Rozpatrzmy dla przykładu całkę

00

J ye~^xy dx,

o

która jest zbieżna przy każdej ustalonej wartości y > 0.

Obliczymy bezpośrednio całkę

00

J ye~^xydx.

A

Dlay = 0 jest ona równa zeru przy każdej wartości A; jeżeli zaś y > 0, to za pomocą podstawienia xy = t znajdujemy łatwo

00 00 J ye~^xydx = J e~*dt — e~^Ay.

A    Ay

Jeżeli y jest ustalone, to otrzymane wyrażenie dąży oczywiście do zera d\& A-*