0574

576

XIV. Całki zależne od parametru

można znalezione wyrażenie dla / napisać w postaci

/= V(-1)* [----1---L_| = 2-21n2-—.

Z_i L« »+l    (»+l)²J    12

Ml

Tutaj znaleźliśmy wartość 1 w „skończonej postaci”. Oczywiście nie zawsze się to udaje.

3) Oznaczmy przez P„(x) a-ty wielomian Legendre'a. Trzeba dowieść, że

, ® cos (/H- -*-) <p dtp

cos 0) - - f    -•

* j ]/2 (cos tp—cos 8)

Jeżeli sobie przypomnimy pochodzenie wielomianów Legendre'a P, (x), które wyprowadziliśmy jako współczynniki rozwinięcia według potęg a wyrażenia 1/^1 — 2ax+a² (patrz ustęp 447, 8), to zobaczymy, że wystarczy rozpatrzyć szereg

(17)

? COS («+ ■—) q> dtp

,.₀ o /² <^cos y-cos 0) i pokazać, że suma jego jest równa podanemu wyrażeniu dla x = cos 0. Gdy |ot|<l, wówczas

Y *"^cos ("+y) v “ (^l~<*) TT

COS 4-® 2

„O    l-2«cosę>+«²

[por. 461, 2]i przy tym szereg ten jest zbieżny jednostajnie względem <p, bo jest zmajoryzowany przez szereg

'X3

geometryczny Y I*!"- Przekształcając ten szereg i opierając się znowu na tym samym wniosku widzimy, że o

suma szeregu (17) może być przedstawiona w postaci Całki

1-a

/

cos-r q> 2

ⁿ '    \/2 (cos p-cos 0) l-2«cos<p+a²

Stosując te same podstawienia, co w zadaniu 9) z ustępu 497 (w którym właściwie znaleźliśmy wynik częściowy, dla n = O i #i = 1) otrzymujemy kolejno

1-a r

1

dz

at

|/(z-*)(l-z) l-2az+a²

(l-«)²ł²+(l-2o«+a²)

1

|/l— 2ax-ł-<v²

Tym samym dowód jest zakończony.

4) Pokażemy tu jeden ze sposobów, za pomocą których Euler otrzymał swój wynik

00

7!

6

Obliczymy całkę

Ił

E = j arc sin x •    - = j arc sin x d (arc sin x) = -2—

J    l/l — yT *'    8

o    o

na innej drodze, posługując się znanym rozwinięciem na szereg funkcji arc sin x

arcsin x = x+f<*^^ Z-j 2»/!l 2n+l