0680

682

XIV. Całki zależne od parametru

zatem

Z wzoru (42) dla a — k otrzymujemy ostatecznie

+ ...

r_ |xij.    4.    1    —ln    ^    4.    ^__1    4. I___I

2    *-l    2k I2k²    120*⁴    252*‘    240*»

...+(-i)"^-^+(-i)^,+10'^^tsit <o < < i).

2n k^2m    2/1+2    k²**²

Posługując się tym wzorem przy k 10 i uwzględniając wyrazy aż do wyrazu zawierającego Jł¹¹, Euler obliczył C z dokładnością do 15 cyfr

C« 0,577 215 664901 532...

542. Układanie tablicy logarytmów dziesiętnych funkcji F. Naszkicujemy pokrótce metodę obliczania logarytmów dziesiętnych funkcji F.

Wróćmy do wzoru (27); pisząc w nim 1+a zamiast a przepiszemy ten wzór w postaci

dlnTd+fl) _ da

Różniczkując kolejno dojdziemy do wzoru.

(-W*-1)1 Y—f—

d-i (a+k)'

<f ln r(l+q) d<f

na n-tą pochodną (różniczkowanie wyraz za wyrazem jest tu dopuszczalne wobec zbieżności jednostajnej szeregu).

(—1)* — , i>-o    n

Obliczamy teraz współczynniki szeregu Taylora 1 [ In-T(l+a) 1

nl L dcf J.

gdzie

00

-Si-

Dla |a|<l mamy więc

ln r(1 +a) — —Ca+ -js_z a²— y r* a*+ |ł₄n*- ...

Ponieważ liczby s_k (szczególnie dla dużych Ar) są bliskie 1, wygodniej jest dodać tutaj stronami rozwinięcie

ln(l+a) « a--ja²+ j«³— ■£«*+ — > również prawdziwe dla |«|< 1. Dostaniemy w ten sposób

lnr(l+a)= -ln(l+<i)+(l-C)«+y(ra-l)«³- i-(r₃-l)«³+ -

Mnożąc przez moduł H i wprowadzając oznaczenia

ił/(l-0- C_u    itffe-D-Ca.....