0586

588

XIV. Całki zależne od parametru

515. Warunki dostateczne zbieżności jednostajnej. Podamy teraz pewne kryteria, którymi się zazwyczaj posługujemy w praktyce przy badaniu zbieżności jednostajnej całek.

Kryteria te są zbudowane na wzór kryteriów Weierstrassa, Abela i Dirichleta dla zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych [430], są one także zbliżone do kryteriów zbieżności całek niewłaściwych [476], które także związaliśmy z nazwiskami Abela i Dirichleta.

1° Załóżmy, te funkcja f (x, y) jest całkowalna względem x w każdym skończonym przedziale <a, A,j A ^ a. Jeżeli istnieje taka, zależna tylko od x, funkcja <p (x), całkowalna w przedziale nieskończonym <a, + oo>, że dla wszystkich y z obszaru y

I f(x, y)| < <p (x)    (dla    x > a) ,

to całka (1) jest zbieżna jednostajnie względem y w obszarze y.

Wynika to bezpośrednio z nierówności

A'    A'

j y) dx\ s$ f <p(x) dx

A    A

i z kryterium z poprzedniego ustępu.

Funkcję <p (x) nazywa się często całkowalną majorantą funkcji f(x, y), mówi się też, że całka (ł) jest zmajoryzowana zbieżną całką

CO

/ <p (x) dx ,

a

nie zawierającą parametru.

2° Bardziej subtelne kryteria otrzymamy podobnie jak w ustępie 476 stosując drugie twierdzenie o wartości średniej.

Rozpatrzmy całkę z iloczynu dwu funkcji

OO

(4)    / (y) = / f(x, y) g (x, y) dx ,

a

zakładając przy tym, że funkcja f(x, y) jest całkowalna względem x w dowolnym przedziale <n, Aj, a funkcja g (x, y) jest monotoniczna względem x.

Jeżeli całka

OO

J f(x,y)dx

a

jest zbieżna jednostajnie względem y w obszarze y i funkcja g (x, y) jest jednostajnie ograniczona, tzn.

Ig (jc, y)| < L (L = const, x > a, y e y), to całka (4) jest także zbieżna jednostajnie względem y w obszarze y.

Zamiast wzoru (6) z ustępu 476, z którego korzystaliśmy wówczas, mamy teraz równość

a’    i

j f(x, y) g (x, y) dx = g (A, y) J*/(x, y)dx + g (A', y) f f(x, y) dx .