0576

578

XIV. Całki zależne od parametru

Łatwo jest sprawdzić, że założenia twierdzenia 3 są tu spełnione. Jest zatem

nu

2adO    n

na)= f -Jzę

J a*—sin

₀ «^ł-sin^ł« j/a²—1 Stąd, całkując względem a, odnajdujemy z powrotem wartość / (a):

/ (a) - w In (a+    )+C.

Aby znaleźć stałą C, przedstawiamy całkę / (a) w postaci

nu

/(a) — 7c In a+ J* In^l—^-sin^łlljd9.

Korzystając teraz ze znalezionej wartości / (a) obliczamy

nu

C-J in(ł — -1-sin^łflj dO-nIn °⁺ fo-~¹ .

Przejdziemy teraz do granicy dla a -»■ + oo. Ponieważ

to całka dąży do zera i otrzymujemy C — —jt In 2. Ostatecznie więc dla a> 1 jest

2

(por. 497, 7). Warto zauważyć, że różniczkowanie według reguły Leibniza pozwoliło znaleźć skończone wyrażenie dla rozpatrywanej całki. Metoda ta dość często okazuje się skuteczna.

8) Jeszcze łatwiej jest obliczyć znaną już całkę [por. 307,4); 314,14); 440,11)]

ir

/(/•)=* J In(I—2rcosx-Lr²)dx    (|r| < 1).

o

Według reguły Leibniza

/

'W- J

—2 cos x+2r 1—2r cos Jt+r²

dx.

Za pomocą podstawienia t = tg y* łatwo jest przekonać się, że otrzymana całka jest równa zeru. Wobec tego

/ (r) — C — const.

Ale 1 (0) » 0, a więc C — 0. Zatem dla |ij<l całka /(r) jest równa zeru.

9) Obliczyć całkę / — f . ^{arc tg x} . dx .

o x^\ —x²

Wprowadzając parametr rozpatrzymy ogólniejszą całkę,

Hy)- f ^arc*LZ d* (y > 0), i xVT=?^r