0576

0576



578


XIV. Całki zależne od parametru


Łatwo jest sprawdzić, że założenia twierdzenia 3 są tu spełnione. Jest zatem

nu

2adO    n


na)= f -Jzę

J a*—sin


0 «ł-sinł« j/a2—1 Stąd, całkując względem a, odnajdujemy z powrotem wartość / (a):

/ (a) - w In (a+    )+C.

Aby znaleźć stałą C, przedstawiamy całkę / (a) w postaci

nu


/(a) — 7c In a+ J* In^l—^-sinłlljd9.


Korzystając teraz ze znalezionej wartości / (a) obliczamy

nu


C-J in(ł — -1-sinłflj dO-nIn °+ fo-~1 .


Przejdziemy teraz do granicy dla a -»■ + oo. Ponieważ


to całka dąży do zera i otrzymujemy C — —jt In 2. Ostatecznie więc dla a> 1 jest

2


(por. 497, 7). Warto zauważyć, że różniczkowanie według reguły Leibniza pozwoliło znaleźć skończone wyrażenie dla rozpatrywanej całki. Metoda ta dość często okazuje się skuteczna.

8) Jeszcze łatwiej jest obliczyć znaną już całkę [por. 307,4); 314,14); 440,11)]


ir

/(/•)=* J In(I—2rcosx-Lr2)dx    (|r| < 1).

o


Według reguły Leibniza


/


'W- J


—2 cos x+2r 1—2r cos Jt+r2


dx.


Za pomocą podstawienia t = tg y* łatwo jest przekonać się, że otrzymana całka jest równa zeru. Wobec tego

/ (r) — C — const.

Ale 1 (0) » 0, a więc C — 0. Zatem dla |ij<l całka /(r) jest równa zeru.

9) Obliczyć całkę / — f . arc tg x . dx .

o x^\ —x2

Wprowadzając parametr rozpatrzymy ogólniejszą całkę,

Hy)- f arc*LZ d* (y > 0), i xVT=?r


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
570 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest sprawdzić te wyniki obliczając bezpośrednio
612 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest również otrzymać uogólnienia twierdzeń 2* i 3* z ustę
580 XIV. Całki zależne od parametru Oczywiście wystarczy sprawdzić, że każda z tych funkcji z osobna
600 XIV. Całki zależne od parametru Wobec tego całka z tej sumy jest zbieżna jednostajnie w punktach
606 XIV. Całki zależne od parametru przy czym w skończonym przedziale zbieżność jest jednostąjna.
614 XIV. Całki zależne od parametru Pozostaje jeszcze do udowodnienia, że w całce z prawej strony wo
626 XIV. Całki zależne od parametru Dalsze różniczkowanie względem P pod znakiem całki jest
630 XIV. Całki zależne od parametru jest funkcją ciągłą argumentu k dla &<1, a całka f dk ~
638 XIV. Całki zależne od parametru Jeżeli liczba przedziałów rodziny A k jest skończona, to przyjmi
642 XIV. Całki zależne od parametru 528. Całkowanie pod znakiem całki. Prawdziwe jest tutaj twierdze
664 XIV. Całki zależne od parametru Przypadkiem szczególnym wzoru Gaussa jest wyprowadzony wcześniej
668 XIV. Całki zależne od parametru więc iloczyn jest zbieżny jedynie wówczas, gdy «i+ ... +®» ■*
670 XIV. Całki zależne od parametru Widać stąd od razu, że znak / (u) dla —n<a< —(n— 1) jest t
564 XIV. Całki zależne od parametru Konieczność. Jeżeli /(x, y) dąży jednostajnie do <p (x), to d
566 XIV. Całki zależne od parametru równość (4). Ustalmy wartości y i y spełniające warunki (5), a
568 XIV. Całki zależne od parametru Na przykład, nie oblicząjąc całek J In (x2+y2)dx, O widzimy od
572 XIV. Całki zależne od parametru podczas gdy / dxffdy- - iir. 0 o 509. Przypadek gdy granice całk
574 XIV. Całki zależne od parametru niewłaściwym) w przedziale <a, bj. W ten sposób można wyłożon
576 XIV. Całki zależne od parametru można znalezione wyrażenie dla / napisać w postaci /= V(-1)*

więcej podobnych podstron