0604

606

XIV. Całki zależne od parametru

przy czym w skończonym przedziale zbieżność jest jednostąjna. Dalej, mąjorantą może być funkcja

1

jeżeli weźmiemy m₀>h i ograniczymy się do m>m₀. Pozostaje powołać się na twierdzenie 1 z ustępu 518.

12) Następujący przykład podkreśla, że w zadaniach 10) i 11) konieczne było sprawdzenie, czy przejście graniczne jest dopuszczalne. Teraz analogiczny sposób przejścia do granicy nie będzie uzasadniony, a wynik jego okaże się fałszywy.

Rozpatrzmy całkę

R

0

Jeżeli przy n -*■ » postąpimy z tą całką tak samo jak w poprzednich przykładach, to otrzymamy

00

lim /, ■= j 0 dx = 0 . o

W rzeczywistości zaś, jak łatwo się przekonać podstawiając x — nt, całka /„ ma wartość stałą, równą ir/41. Podamy jeszcze dwa nieszablonowe przykłady, interesujące jak się przekonamy z innych jeszcze powodów. 13) Obliczyć całkę

00

/= J e*'“*sin (a sin *) —,

O

gdzie a jest dowolną liczbą [por. 478, 8) (a)], przyjmując za znaną całkę

f Jim </,= *-

J t 2

o

[por. 492, 3°; 494, 5)].

Wygodnie będzie wprowadzić tu zmienną zespoloną

z »■ a (cos *+/ sin x).

Wówczas [457, (6)] funkcja

e¹ = «•“** [cos (a sin *)+/ sin (a sin .t)]

rozwija się w szereg

1 +

s

n- Ł

o"(cos nx+i sin nx) n\

Przyrównując części urojone otrzymujemy rozwinięcie w szereg pierwszego czynnika iloczynu występującego pod całką

CO

' sin (a sin *) =■ > — sinnx. Z_i n\

Zatem

l

sin nx

dx.

x

0 n- 1