0614

616

XIV. Całki zależne od parametru

2 n

obu stronach równości (19) do granicy przy    ⁺ *—► a i korzystając przy tym z ciągło

ści całki znajdujemy ostatecznie

U

4-1

+x

dx = —

sm 7ra

por. 519,4]. Z przykładów 2 i 3 z ustępu 496 otrzymujemy w analogiczny sposób

CO

/X^a~^l — x^b_1

-j—-— dx = n (ctg an—ctg bn)

oraz

UJ

/

x°~^ldx

x²+2xcos 0+1

sin(l— a) 9 sin 0 sin an

2° Obliczymy całkę

/-

sin x

dx

[por. 492, 3°].

Rozpatrzmy całkę

aa

. f sin ax ,    .

/₀ = J —-— dx    (a > 0).

Obliczymy ją za pomocą różniczkowania względem parametru a. Bezpośrednie zastosowanie reguły Leibniza prowadzi tu jednak do całki rozbieżnej

J cos ax dx .

Wprowadzimy wobec tego czynnik uzbieżniający e~^kx {k > 0) i będziemy szukać wartości całki

uu

J"

^kx ~^ax dx (a> 0).

Tutaj różniczkowanie względem a pod znakiem całki jest już dopuszczalne, bo spełnione są założenia twierdzenia 3 — funkcja podcałkowa i jej pochodna cząstkowa względem a są ciągłe względem x i a dla r>0 i a^O, a całka otrzymana w wyniku różniczkowania

00

k

i

e~^kx cos ax dx =

a²+k²