0578

0578



580


XIV. Całki zależne od parametru


Oczywiście wystarczy sprawdzić, że każda z tych funkcji z osobna spełnia równanie. Przekonujemy się o tym podobnie, jak w zadaniu poprzednim różniczkując pod znakiem całki, przy czym w przypadku funkcji iii stosujemy twierdzenie 3, a w przypadku funkcji


7t    n

u2 = In r f e"rCMtd$+2 f e"ce In sin 6d9 0    o


także twierdzenie 3*.


12) Znaleźć pochodne całek eliptycznych zupełnych


* * .

E(A) — j /l—k2sin2q>dq>,


i*IA

*(A)« jf -&


1 — A2sin2ę>


względem modułu A(0<A<l). Jest tutaj


n/2

= — f A sin2 <p (1 — A2 sin2ęj)_,/2r/ę> = dk J


(1 — A2sin2ę>V/2r/ę> — J (l — A2 sin2ę>)“l,2r/yi^


E-K


Analogicznie


dK

dk


n/2


= ^-^j (l — k2 sin2q>)~3,2dę>— f (1 — A2'sin2qr)—1 /2r/-7>^ .


Ponieważ

n/2


W


j (1—A2 sinJę>)“3,2</y =-j—J" (l— A2 sin2p)l/2</<5* ('),


więc

K


dK

dk k (I —A2) k

Otrzymane wzory mają interesujące zastosowania. Na przykład jeżeli wprowadzimy moduł sprzę

żony k' = Pi—A2 oraz funkcję

E'(k) = £ (A'j i K’(k) = K (A'),

to z łatwością otrzymamy

— (.EK+E'K-KK) = 0. dk

Wynika stąd, że EK'Ą-E'K— KK = c = const.

(') Wynika to z łatwej do sprawdzenia tożsamości

(1—A2 sin2?)*3'2    (I— A2sin2y)l/ł--k---^-[sin ę cos ę (1— A2 sin2ę>)-,,2l.

I—A2    1—A2 dtp


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
578 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest sprawdzić, że założenia twierdzenia 3 są tu spełnione
570 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest sprawdzić te wyniki obliczając bezpośrednio
598 XIV. Całki zależne od parametru Twierdzenie powyższe pozostaje oczywiście prawdziwe, gdy wszystk
564 XIV. Całki zależne od parametru Konieczność. Jeżeli /(x, y) dąży jednostajnie do <p (x), to d
566 XIV. Całki zależne od parametru równość (4). Ustalmy wartości y i y spełniające warunki (5), a
568 XIV. Całki zależne od parametru Na przykład, nie oblicząjąc całek J In (x2+y2)dx, O widzimy od
572 XIV. Całki zależne od parametru podczas gdy / dxffdy- - iir. 0 o 509. Przypadek gdy granice całk
574 XIV. Całki zależne od parametru niewłaściwym) w przedziale <a, bj. W ten sposób można wyłożon
576 XIV. Całki zależne od parametru można znalezione wyrażenie dla / napisać w postaci /= V(-1)*
582 XIV. Całki zależne od parametru Ponieważ /„(<?) = 0, więc X /« + iU)=
584 XIV. Całki zależne od parametru 18) Podamy jeszcze przykłady całek, w których nie można zmienić
586 XIV. Całki zależne od parametru§ 2. Zbieżność jednostajna całek 513. Definicja całki zbieżnej
588 XIV. Całki zależne od parametru 515. Warunki dostateczne zbieżności jednostajnej. Podamy teraz p
590 XIV. Całki zależne od parametru 516. Drugi przypadek zbieżności jednostajnej. Rozpatrzmy teraz
592 XIV. Całki zależne od parametru 3) Dowieść bezpośrednio, że całkaf Are-"^dx J v3 dla
594 XIV. Całki zależne od parametru 12) Wykazać to samo dla całki f 8jc3yJ (x* -8 xy3 dx. Tutąj
596 XIV. Całki zależne od parametru n-* co dąży jednostajnie do <p(x) = 0 w całym przedziale <
600 XIV. Całki zależne od parametru Wobec tego całka z tej sumy jest zbieżna jednostajnie w punktach
602 XIV. Całki zależne od parametru Pozostaje obliczyć całkę f e~x2x1 ,dx — /„. Całkując przez

więcej podobnych podstron