0578
XIV. Całki zależne od parametru
Oczywiście wystarczy sprawdzić, że każda z tych funkcji z osobna spełnia równanie. Przekonujemy się o tym podobnie, jak w zadaniu poprzednim różniczkując pod znakiem całki, przy czym w przypadku funkcji iii stosujemy twierdzenie 3, a w przypadku funkcji
7t n
u2 = In r f e"rCMtd$+2 f e"c”e In sin 6d9 0 o
12) Znaleźć pochodne całek eliptycznych zupełnych
* * .
E(A) — j /l—k2sin2q>dq>,
względem modułu A(0<A<l). Jest tutaj
n/2
= — f A sin2 <p (1 — A2 sin2ęj)_,/2r/ę> = dk J
(1 — A2sin2ę>V/2r/ę> — J (l — A2 sin2ę>)“l,2r/yi^
= ^-^j (l — k2 sin2q>)~3,2dę>— f (1 — A2'sin2qr)—1 /2r/-7>^ .
Ponieważ
j (1—A2 sinJę>)“3,2</y =-j—J" (l— A2 sin2p)l/2</<5* ('),
więc
dK
dk k (I —A2) k
Otrzymane wzory mają interesujące zastosowania. Na przykład jeżeli wprowadzimy moduł sprzę
żony k' = Pi—A2 oraz funkcję
E'(k) = £ (A'j i K’(k) = K (A'),
to z łatwością otrzymamy
— (.EK+E'K-KK) = 0. dk
Wynika stąd, że EK'Ą-E'K— KK = c = const.
(') Wynika to z łatwej do sprawdzenia tożsamości
(1—A2 sin2?)*3'2 — „ (I— A2sin2y)l/ł--k---^-[sin ę cos ę (1— A2 sin2ę>)-,,2l.
I—A2 1—A2 dtp
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
578 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest sprawdzić, że założenia twierdzenia 3 są tu spełnione570 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest sprawdzić te wyniki obliczając bezpośrednio598 XIV. Całki zależne od parametru Twierdzenie powyższe pozostaje oczywiście prawdziwe, gdy wszystk564 XIV. Całki zależne od parametru Konieczność. Jeżeli /(x, y) dąży jednostajnie do <p (x), to d566 XIV. Całki zależne od parametru równość (4). Ustalmy wartości y i y spełniające warunki (5), a568 XIV. Całki zależne od parametru Na przykład, nie oblicząjąc całek J In (x2+y2)dx, O widzimy od572 XIV. Całki zależne od parametru podczas gdy / dxffdy- - iir. 0 o 509. Przypadek gdy granice całk574 XIV. Całki zależne od parametru niewłaściwym) w przedziale <a, bj. W ten sposób można wyłożon576 XIV. Całki zależne od parametru można znalezione wyrażenie dla / napisać w postaci /= V(-1)*582 XIV. Całki zależne od parametru Ponieważ /„(<?) = 0, więc X /« + iU)=584 XIV. Całki zależne od parametru 18) Podamy jeszcze przykłady całek, w których nie można zmienić586 XIV. Całki zależne od parametru§ 2. Zbieżność jednostajna całek 513. Definicja całki zbieżnej588 XIV. Całki zależne od parametru 515. Warunki dostateczne zbieżności jednostajnej. Podamy teraz p590 XIV. Całki zależne od parametru 516. Drugi przypadek zbieżności jednostajnej. Rozpatrzmy teraz592 XIV. Całki zależne od parametru 3) Dowieść bezpośrednio, że całkaf Are-"^dx J v3 dla594 XIV. Całki zależne od parametru 12) Wykazać to samo dla całki f 8jc3yJ (x* -8 xy3 dx. Tutąj596 XIV. Całki zależne od parametru n-* co dąży jednostajnie do <p(x) = 0 w całym przedziale <600 XIV. Całki zależne od parametru Wobec tego całka z tej sumy jest zbieżna jednostajnie w punktach602 XIV. Całki zależne od parametru Pozostaje obliczyć całkę f e~x2x1 ,dx — /„. Całkując przezwięcej podobnych podstron