0578

580

XIV. Całki zależne od parametru

Oczywiście wystarczy sprawdzić, że każda z tych funkcji z osobna spełnia równanie. Przekonujemy się o tym podobnie, jak w zadaniu poprzednim różniczkując pod znakiem całki, przy czym w przypadku funkcji iii stosujemy twierdzenie 3, a w przypadku funkcji

7t    n

u₂ = In r f e"^rCMtd$+2 f e"^c”^e In sin 6d9 0    o

także twierdzenie 3*.

12) Znaleźć pochodne całek eliptycznych zupełnych

* * .

E(A) — j /l—k²sin²q>dq>,

i*IA

*(A)« jf -&

1 — A²sin²ę>

względem modułu A(0<A<l). Jest tutaj

n/2

= — f A sin² <p (1 — A² sin²ęj)^_,/2r/ę> = dk J

(1 — A²sin²ę>V^/2r/ę> — J (l — A² sin²ę>)“^l,2r/yi^

E-K

Analogicznie

dK

dk

n/2

= ^-^j (l — k² sin²q>)~^3,2dę>— f (1 — A²'sin²qr)^{—1 /2}r/-7>^ .

Ponieważ

n/2

W

j (1—A² sin^Ję>)“^3,2</y =-j—J" (l— A² sin²p)^l/2</<5* ('),

więc

K

dK

dk k (I —A²) k

Otrzymane wzory mają interesujące zastosowania. Na przykład jeżeli wprowadzimy moduł sprzę

żony k' = Pi—A² oraz funkcję

E'(k) = £ (A'j i K’(k) = K (A'),

to z łatwością otrzymamy

— (.EK+E'K-KK) = 0. dk

Wynika stąd, że EK'Ą-E'K— KK = c = const.

(') Wynika to z łatwej do sprawdzenia tożsamości

(1—A² sin²?)*³'² — „    (I— A²sin²y)^l/ł--^k---^-[sin ę cos ę (1— A² sin²ę>)^-,,2l.

I—A²    1—A² dtp