0590

0590



592


XIV. Całki zależne od parametru

3) Dowieść bezpośrednio, że całka

f Are-"^dx

J v3

dla wartości n *= 1,2,'3,... nie jest zbieżna jednostajnie względem a.

Wynika to stąd, że dla każdego A = const

CO

J -iL e~R(Zxldx * e~n,2x21—e-*/2A2    ^ gdy    // —► co .

A

co

4) Dowieść bezpośrednio, że całka J -dx jest zbieżna jednostajnie względem a w obszarze

o x

«>«o>0 i niejednostajnie w obszarze «>0.

Weźmy dowolną liczbę e>0. Jeżeli A0 jest tak duże, że dla A>A0

sin z


dz < e,

to całka (7)


/


sin ax


dx*


J


ma dla wszystkich o>a0>0 wartość bezwzględną mniejszą od e, jeżeli tylko A> ——. To dowodzi pierw-

a

szej części twierdzenia.

Druga część wynika z tego, że gdy a -*■ 0, wówczas granicą całki (7) przy dowolnym A = const jest

5) Udowodnić, że całka

f sin ax    ,

I ■ cos x dx

J    v

jest zbieżna jednostajnie względem a w dowolnym przedziale zamkniętym nie zawierającym ± 1. Wskazówka. Przekształcić całkę do postaci

dx.


1 j sin (g+1) x+sin (a— 1) x

6) Zbadać jednostajność względem / zbieżności całki

00

j x sin x3 sin tx dx. o

co

Wskazówka. Całkując dwukrotnie przez części sprowadzamy całkę J' do postaci

cos x3 sin tx , t sin jr cos tx


3.e


+r


3jc3


-t/


cos xa sin tx


A 3

A

05

t i" sin z3 cos tx


dx-\-


A

00

3 J x4 ' 9

A    A

Stąd już widać, że badana całka jest zbieżna jednostajnie w dowolnym przedziale skończonym.


+ T J


dx+lL f sin x3 sin tx (U 9 J x3



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
602 XIV. Całki zależne od parametru Pozostaje obliczyć całkę f e~x2x1 ,dx — /„. Całkując przez
618 XIV. Całki zależne od parametru Aby wykazać, że mieliśmy prawo zmienić kolejność całkowania
570 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest sprawdzić te wyniki obliczając bezpośrednio
620 XIV. Całki zależne od parametru Bezpośrednie uzasadnienie tej zmiany wymaga jednak kłopotliwych
564 XIV. Całki zależne od parametru Konieczność. Jeżeli /(x, y) dąży jednostajnie do <p (x), to d
566 XIV. Całki zależne od parametru równość (4). Ustalmy wartości y i y spełniające warunki (5), a
568 XIV. Całki zależne od parametru Na przykład, nie oblicząjąc całek J In (x2+y2)dx, O widzimy od
572 XIV. Całki zależne od parametru podczas gdy / dxffdy- - iir. 0 o 509. Przypadek gdy granice całk
574 XIV. Całki zależne od parametru niewłaściwym) w przedziale <a, bj. W ten sposób można wyłożon
576 XIV. Całki zależne od parametru można znalezione wyrażenie dla / napisać w postaci /= V(-1)*
578 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest sprawdzić, że założenia twierdzenia 3 są tu spełnione
580 XIV. Całki zależne od parametru Oczywiście wystarczy sprawdzić, że każda z tych funkcji z osobna
582 XIV. Całki zależne od parametru Ponieważ /„(<?) = 0, więc X /« + iU)=
584 XIV. Całki zależne od parametru 18) Podamy jeszcze przykłady całek, w których nie można zmienić
586 XIV. Całki zależne od parametru§ 2. Zbieżność jednostajna całek 513. Definicja całki zbieżnej
588 XIV. Całki zależne od parametru 515. Warunki dostateczne zbieżności jednostajnej. Podamy teraz p
590 XIV. Całki zależne od parametru 516. Drugi przypadek zbieżności jednostajnej. Rozpatrzmy teraz
594 XIV. Całki zależne od parametru 12) Wykazać to samo dla całki f 8jc3yJ (x* -8 xy3 dx. Tutąj
596 XIV. Całki zależne od parametru n-* co dąży jednostajnie do <p(x) = 0 w całym przedziale <

więcej podobnych podstron