0590
XIV. Całki zależne od parametru
3) Dowieść bezpośrednio, że całka
f Are-"^dx
J v3
dla wartości n *= 1,2,'3,... nie jest zbieżna jednostajnie względem a.
Wynika to stąd, że dla każdego A = const
CO
J -iL e~R(Zxldx * e~n,2x21—e-*/2A2 ^ gdy // —► co .
A
co
4) Dowieść bezpośrednio, że całka J -dx jest zbieżna jednostajnie względem a w obszarze
o x
«>«o>0 i niejednostajnie w obszarze «>0.
Weźmy dowolną liczbę e>0. Jeżeli A0 jest tak duże, że dla A>A0
dz < e,
ma dla wszystkich o>a0>0 wartość bezwzględną mniejszą od e, jeżeli tylko A> ——. To dowodzi pierw-
a
szej części twierdzenia.
Druga część wynika z tego, że gdy a -*■ 0, wówczas granicą całki (7) przy dowolnym A = const jest
5) Udowodnić, że całka
f sin ax ,
I ■ cos x dx
J v
jest zbieżna jednostajnie względem a w dowolnym przedziale zamkniętym nie zawierającym ± 1. Wskazówka. Przekształcić całkę do postaci
1 j sin (g+1) x+sin (a— 1) x
6) Zbadać jednostajność względem / zbieżności całki
00
j x sin x3 sin tx dx. o
co
Wskazówka. Całkując dwukrotnie przez części sprowadzamy całkę J' do postaci
cos x3 sin tx , t sin jr cos tx
A 3
A
05
t i" sin z3 cos tx
A
00
3 J x4 ' 9
A A
Stąd już widać, że badana całka jest zbieżna jednostajnie w dowolnym przedziale skończonym.
dx+lL f sin x3 sin tx (U 9 J x3
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
602 XIV. Całki zależne od parametru Pozostaje obliczyć całkę f e~x2x1 ,dx — /„. Całkując przez618 XIV. Całki zależne od parametru Aby wykazać, że mieliśmy prawo zmienić kolejność całkowania570 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest sprawdzić te wyniki obliczając bezpośrednio620 XIV. Całki zależne od parametru Bezpośrednie uzasadnienie tej zmiany wymaga jednak kłopotliwych564 XIV. Całki zależne od parametru Konieczność. Jeżeli /(x, y) dąży jednostajnie do <p (x), to d566 XIV. Całki zależne od parametru równość (4). Ustalmy wartości y i y spełniające warunki (5), a568 XIV. Całki zależne od parametru Na przykład, nie oblicząjąc całek J In (x2+y2)dx, O widzimy od572 XIV. Całki zależne od parametru podczas gdy / dxffdy- - iir. 0 o 509. Przypadek gdy granice całk574 XIV. Całki zależne od parametru niewłaściwym) w przedziale <a, bj. W ten sposób można wyłożon576 XIV. Całki zależne od parametru można znalezione wyrażenie dla / napisać w postaci /= V(-1)*578 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest sprawdzić, że założenia twierdzenia 3 są tu spełnione580 XIV. Całki zależne od parametru Oczywiście wystarczy sprawdzić, że każda z tych funkcji z osobna582 XIV. Całki zależne od parametru Ponieważ /„(<?) = 0, więc X /« + iU)=584 XIV. Całki zależne od parametru 18) Podamy jeszcze przykłady całek, w których nie można zmienić586 XIV. Całki zależne od parametru§ 2. Zbieżność jednostajna całek 513. Definicja całki zbieżnej588 XIV. Całki zależne od parametru 515. Warunki dostateczne zbieżności jednostajnej. Podamy teraz p590 XIV. Całki zależne od parametru 516. Drugi przypadek zbieżności jednostajnej. Rozpatrzmy teraz594 XIV. Całki zależne od parametru 12) Wykazać to samo dla całki f 8jc3yJ (x* -8 xy3 dx. Tutąj596 XIV. Całki zależne od parametru n-* co dąży jednostajnie do <p(x) = 0 w całym przedziale <więcej podobnych podstron