0616

618

XIV. Całki zależne od parametru

Aby wykazać, że mieliśmy prawo zmienić kolejność całkowania spróbujmy odwołać sie do wniosku z twierdzenia S z ustępu 521. Całka

f e-^(1+,2) u du = 4-X    2

1

l + I²

jest ciągłą funkcją t dla wszystkich t ^ 0, ale całka

00

J ^ul u dt = e

o

J

jest ciągła tylko dla u > O, a w punkcie u = O, w którym jest równa zeru, ma skok. Nie możemy więc korzystać z tego wniosku w całym prostokącie <0, oo; 0, oo> i ograniczymy się do prostokąta <w₀» oo; 0, oo> (u₀ > 0). Sprawdzamy jeszcze, że całka

/ <r^(1+,2) u du=Y «0

1+t²

jest funkcją ciągłą t dla wszystkich t > 0. Ostatecznie mamy równość 00 00 00 00 jduf e-‘^l+‘²> u dt — J dt / _e-a+'²)“² _M du.

Mo    O    O    MO

Pozostaje tylko zmniejszając u₀ przejść do granicy dla u₀ -* 0. Na podstawie wniosku z ustępu 518 można to z prawej strony wykonać pod znakiem całki.

4° Całki Lapłacća

/cos Bx .    C x sin Bx .

7?+*-^dx’

0    o

Podstawiając w pierwszej z nich

00

—2~7—2~ = / e^-,<“²⁺*^,> dt, <x²+x²    ^

otrzymujemy

00    co

y =5 J cos Px dx J e~"^l!+x2) dt.

o    o

Zmieńmy teraz na podstawie twierdzenia 5 kolejność całkowania względem x i t. Otrzymujemy

00    OO

y = J e~^j2t dt J e~^tx2 cos jSx dx .

o    o

Wewnętrzną całkę znamy już [519, 6) (a)]

f e-^,xl cos dx = o    ²

— e-/>²/⁴‘ t