0588

590

XIV. Całki zależne od parametru

516. Drugi przypadek zbieżności jednostajnej. Rozpatrzmy teraz funkcję /(x, y) określoną dla wartości x ze skończonego przedziału <a, b} i wartości y z pewnego zbioru O/. Załóżmy, że przy y = const ma ona całkę względem x w granicach od a do b; może to być przy tym zarówno całka właściwa jak i niewłaściwa. Przy tych założeniach całka

6

(5)    I (y) = J f(x, y) dx

a

— niezależnie od tego. czy jest właściwa czy niewłaściwa — jest granicą przy ij -*• 0 całki

b-tt

(6)    >’) = J f(x,y)dx.

a

Jeżeli przy // -*■ 0 zbieżność całki (6) do granicy / (y) jest jednostajna względem y w obszarze y, to mówimy, że całka (5) jest jednostajnie zbieżna względem y ir tym obszarze-Zbieżność jednostajna całki (5) oznacza więc, że dla dowolnego e > 0 można znaleźć taką liczbę 6 > 0 niezależną od y, że jeśli tylko g < 5, to nierówność

b    h—r;    b

| f f(x, y)dx- f f(x, ,v) dx| = | j f(x, y) dx| < e

a    a    b-tj

jest spełniona od razu dla wszystkich wartości y z obszaru <3/.

Łatwo jest sformułować w tym przypadku warunek konieczny i wystarczający dla zbieżności jednostajnej — tutaj także sprowadza się on do równomiernego spełnienia zasady zbieżności.

Dla liczby e > 0 musi się znaleźć taka liczba S > 0 nie zależna od y, żeby dla 0 < tj' < t] < < S spełniona była nierówność

^h~ⁿ'

| f /(x, y) dxI < £

6-1/

i to dla wszystkich y ze zbioru *3/ równocześnie.

Dokładnie tak samo jak w ustępie 514 można sprowadzić badanie zbieżności jednostajnej całki (5) do badania zbieżności jednostajnej szeregu nieskończonego

b    <o o.ti

//(*, y) dx = ^ J f(x,y)dx (a₀ = a. a^a„^b)

u    im* 0 a„

utworzonego dla dowolnego ciągu K) zbieżnego do b.

Można też przenieść na rozpatrywany przypadek warunki dostateczne z ustępu 514. Pozostawiamy to czytelnikowi.

Rozpatrywaliśmy całkę (5) (z przedziałem całkowania od a do b) jako granicę całki (6) (z przedziałem całkowania od a do b — rj) interesując się przy tym charakterem zbieżności całki (6) do jej granicy. Wyróżnioną rolę grał punkt * = b, podobnie jak w ustępie 513 punkt x = cc. Okazuje się często, że w pewnych okolicznościach, które wyjaśnimy dalej, wygodnie jest przypisać podobną rolę innemu punktowi przedziału. Na przykład tę samą całkę (5) można rozpatrywać jako granicę przy ą-*0 całki

b

J7(x, y)dx.

fl+7