0666

668

XIV. Całki zależne od parametru

więc iloczyn jest zbieżny jedynie wówczas, gdy

«i+ ... +®» ■* ói+ ... +ó».

Należy obliczyć P przy tym właśnie założeniu. Wskazówka. Przedstawić u, w postaci

(t+    e-'*‘ ... /l+

(l+    e-^b'^,m ... /l+

i posłużyć się wzorem Weierstrassa (30). Odpowiedź.

J. r(i+ó,)r(ł+ói)...r(i+ó_t)

ro+o.) f(i +«i)... /'(l+fli,)

6) Zakładając, że

0 < ki, |6,| < 1

wyprowadzić z 3) inny wynik Eulera

sin b\ tc sin bi tc ... sin b_k tc sin Oi tc sin o₂ tc ... sin a_t tc ’

Wskazówka. Oprzeć się na wzorze

r(l+c)-r(l~c)

wc

sin tcc

(0 < |c| < 1),

który wynika z (9) i (13).

7) Wróćmy do wzoru Gaussa

F(»,P,y, 1)

r(y)r(y-*-p)

r(y-«)r (><-/?) ’ który wyprowadziliśmy w ustępie 534, 13) przy założeniu, że

* > 0,    y—»> 0 i y—»—P>0.

Proponujemy teraz udowodnić ten wzór na innej drodze — zakładając jedynie, że argumenty funk cji r po prawej stronie wzoru są dodatnie, a pomijając zbędne założenie «>0.

Naszkicujemy plan dowodu. Oznaczmy przez o., b. i c„ odpowiednio, wyrazy ogólne szeregów hi-pergeometrycznych

A — F(oi,fi, y, 1), B= P(*— l,fi, y, 1), C = F(«, /), y+1,1) .

Bezpośrednim rachunkiem można sprawdzić związki

O.-0.+1 = (l- ^-) c.-ó.+i,

(y—») (a.-b.) = 0o.-i-f(«-1)    - w.

i udowodnić, że na_m -*■ 0. Dodając te równości przy wskaźniku zmieniającym się od 1 do n i przechodząc do granicy otrzymujemy

yB - (y-p) C, (y-«) (A—B) = pA .