0648

650

XIV. Całki zależne od parametru

Przepiszmy ten iloczyn w odwrotnej kolejności '■^r

i przemnóżmy oba wyrażenia

V-1

Do każdej pary czynników    zastosujmy teraz wzór na dopełnienie.

Otrzymamy

TZⁿ~*-

£2---- .

■    .    _ 7C    ■    .    .. Z

sin — sin 2 —... sinfn —1) — n n    n

Dla obliczenia iloczynu sinusów [por. str. 621] rozpatrzmy tożsamość

z"— z

— 1 n (    2vk . . 2vtc \

-r = |/^z-^c°^s—-.sm —j.

V*1

Jeżeli z dąży do jedności, to w granicy dostaniemy

m,    2vn 2\m\

l-a»—-**—)■

Porównując moduły, mamy

n—1 .

n ,    2v7t . . 2v7t

1—cos--1 sin-

n    n

V—1

= 2"-^ł

n~ I

n

sin

V7C

a więc

B-1

nw n

^sm-rT - 2=r-

V“1

Podstawiając to do wyrażenia na E² otrzymamy ostatecznie

(17)

. 1 ' ' ^

7° Całka Raabego. Z wzorem na dopełnienie związane jest obliczenie ważnej całki

R₀ = f In f (a) da .

Całka ta, rzecz jasna, istnieje, ponieważ [por. (9)] •

ln.T(a) — ln r(a + l)—ln a