0572

574

XIV. Całki zależne od parametru

niewłaściwym) w przedziale <a, bj. W ten sposób można wyłożoną teorię elementarną rozciągnąć częściowo na całki niewłaściwe.

Sformułujemy twierdzenia analogiczne do twierdzeń 1, 2, 3 i 4.

Twierdzenie 1¹. Przy założeniach twierdzenia 1 prawdziwa jest równość

b    h

lim Jf(x, y) g (x) dx = J <p (x) g (x) dx .

»-»«a    a

Zauważmy przede wszystkim, że wszystkie całki występujące tutaj istnieją. Całkowal-ność funkcji granicznej <p (x) była już udowodniona. Istnienie zaś całek z funkcji f-g i <p-g (ogólnie mówiąc niewłaściwych) wynika z ustępu 4S2.

Teraz, biorąc dowolną liczbę e > 0 znajdujemy, korzystając z jednostajnej zbieżności funkcji /(x, y) do <p (x), taką liczbę 5 > 0, aby spełniona była nierówność (3) (¹). Dla Ij-Jol < <5 jest zatem prawdziwe oszacowanie

h    b    b    h

| /f(x, >’) 9 (-v) dx- f <p(x)g (x) dx| < / |/(x, y)-<p (x)| \g (x)| dx < e • f \g (x)| dx,

a    a    a    a

z którego wynika dowodzona równość, bo z prawej strony dowolnie mała liczba jest

b

pomnożona przez liczbę skończoną j\g (x)| dx.

a

Twierdzenie to jest prawdziwe w szczególności dla ciągu funkcji {/„(x)} z wskaźnikiem n w roli parametru. Sformułujemy je w „języku” szeregów nieskończonych, ponieważ w takiej postaci stosuje się je najczęściej.

Wniosek. Jeżeli 1) wyrazy szeregu

ao

'Yj “"(¹)

n—1

są funkcjami całkowalnymi w przedziale <a, oraz szereg ten jest jednostajnie zbieżny, 2) istnieje całka niewłaściwa z wartości bezwzględnej funkcji g (x), to szereg

00

X] ^u»(^x) 9 (x)

II—ł

można całkować wyraz za wyrazem.

Dalej, zupełnie tak samo jak twierdzenia 2 i 3 (tylko z powołaniem się na twierdzenie 1 ¹ zamiast na twierdzenie 1) można udowodnić następujące twierdzenia:

Twierdzenie 2¹. Przy założeniach twierdzenia 2 całka (la) jest funkcją ciągłą parametru y w przedziale <c, dj.

Twierdzenie 3¹. Przy założeniach twierdzenia 3 funkcja (la) jest różniczkowalna względem parametru i prawdziwa jest przy tym równość

b

ł’(y) = J f_y(x, y) g (x) dx.

<1

1

Tutaj, jak zwykle, rozpatrujemy dla przykładu przypadek skończonej wartości y₀; przejście do przypadku y₀ = + a> nie przedstawia trudności.