0636

0636



638


XIV. Całki zależne od parametru

Jeżeli liczba przedziałów rodziny A k jest skończona, to przyjmiemy po prostu A' = Ak. W przypadku przeciwnym wydzielamy z At podrodzinę skończoną A' przedziałów d[, d2.....d’r w ten sposób, aby

suma długości pozostałych przedziałów d'+l, rfr'+2>... rodziny Ak była mniejsza od S (1).

Co najmniej niektóre z przedziałów rodziny A2 są zawarte w przedziałach rodziny A'; gdyby bowiem

były one wszystkie zawarte w przedziałach d,’+l, d,+2..... to suma ich długości byłaby mniejsza od ó

wbrew własności 2) rodzin Ak. Jeśli w A’ zawiera się skończona liczba przedziałów rodziny Alt to przyjmiemy je za rodzinę A". W wypadku przeciwnym wydzielimy spośród nich rodzinę skończoną A" w ten sposób, aby suma długości wszystkich pozostałych przedziałów rodziny A2 (włączając w to przedziały nie zawarte wdj była mniejsza od d. Przedłużamy to postępowanie do nieskończoności wydzieląjąc zA3 rodzinę skończoną A’",... zAk rodzinę skończoną A(k>, ... Przy tym każdy z przedziałów rodziny Alt+1) jest zawarty w jednym z przedziałów rodziny Alty. Własność 2) rodzin Ak nie przysługuje już rodzinom A(kale za to są one znowu skończone (podobnie jak rodziny Dk).

Wreszcie, ostatni etap polega na wydzieleniu z rodzin /)'** po jednym przedziale dfk) w ten sposób, aby każdy z nich zawierał się w poprzednim.

Mianowicie, wśród przedziałów rodziny A' istnieje co najmniej jeden taki przedział d\ w którym zawarte są przedziały nieskończonego zbioru rodzin następnych.

Istotnie, przypuśćmy, że jest przeciwnie, tj. że w każdym przedziale rodziny A' zawierają się przedziały należące tylko do skończonego zbioru rodzin następnych; wówczas to samo zachodziłoby dla całej rodziny Agdyż składa się ona ze skończonej ilości przedziałów. Innymi słowy, istniałaby tak duża liczba k0, że żaden z przedziałów rodziny -d“°> nie byłby zawarty w A', co przeczy własności 1) rodzin Am.

W przedziale d' są zawarte pewne przedziały rodziny A", bo w przeciwnym przypadku nie zawierałby on żadnych przedziałów rodziny A'" itd. Co więcej, jeden z przedziałów rodziny A" zawierający się w d' musi mieć tę samą własność, co przedział d\ tj. musi zawierać przedziały z nieskończonego zbioru rodzin następnych, bo inaczej również przedział d' nie miałby tej własności (tu znów istotną rolę odgrywa skończoność rodziny A"). Oznaczmy ten przedział rodziny A" przez d”. Przedłużając ten proces do nieskończoności wybieramy z każdej rodziny przedział din zawarty w poprzednio wybranym przedziale </<»-».

Stwierdzamy teraz, tak jak w dowodzie elementarnego lematu z ustępu 38, że monotoniczne ciągi {a1} i {bk} muszą mieć granice i że

lim ak = <x < P = lim bk .

Nie możemy tutaj udowodnić równości obu granic, gdyż nic nie wiemy o długościach przedziałów dm. Jednak każdy punkt c spełniający warunek «<c</J należy oczywiście do wszystkich przedziałów d(n (k = 1, 2, 3,...) i tym samym należy do każdej rodziny Ak (dla k = 1,2, 3,...). To zaś oznacza, że dla każdego k punkt c należy do pewnej rodziny gdzie k'>k (widać to z reguły budowania rodzin Ak). Stąd już wynika, że punkt c należy do zbioru nieskończonego rodzin Dk.

526. Przejście do granicy pod znakiem całki. Udowodnimy obecnie twierdzenie analogiczne do twiei-dzenia 61 z ustępu 436. Założenie o jednostajnej zbieżności funkcji f,(x) zastąpimy jednak przez słabsze założenie jej ograniczoności.

Twierdzenie 1 (Arzeli). Niech będzie dany ciąg funkcji

/»(1)»    n=l,2, 3,....

całkowalnych (w sensie właściwym) w przedziale <«, 6> i wspólnie ograniczonych:

l/»C1)l < L (L = const, a < x < b, n= 1,2,3,...).

Jeżeli dla każdego x z przedziału <a, ó> istnieje granica

9> W = lim /.(r)

1

Można to zrobić w oparciu o własność reszty szeregu zbieżnego.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
678 XIV. Całki zależne od parametru Jeżeli w całce K przyjmiemy y = -i-, ot = -
680 XIV. Całki zależne od parametru Jeżeli użyjemy tu symbolu n-tej liczby Bemoulliego [449](4°) to
664 XIV. Całki zależne od parametru Przypadkiem szczególnym wzoru Gaussa jest wyprowadzony wcześniej
564 XIV. Całki zależne od parametru Konieczność. Jeżeli /(x, y) dąży jednostajnie do <p (x), to d
566 XIV. Całki zależne od parametru równość (4). Ustalmy wartości y i y spełniające warunki (5), a
568 XIV. Całki zależne od parametru Na przykład, nie oblicząjąc całek J In (x2+y2)dx, O widzimy od
570 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest sprawdzić te wyniki obliczając bezpośrednio
572 XIV. Całki zależne od parametru podczas gdy / dxffdy- - iir. 0 o 509. Przypadek gdy granice całk
574 XIV. Całki zależne od parametru niewłaściwym) w przedziale <a, bj. W ten sposób można wyłożon
576 XIV. Całki zależne od parametru można znalezione wyrażenie dla / napisać w postaci /= V(-1)*
578 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest sprawdzić, że założenia twierdzenia 3 są tu spełnione
580 XIV. Całki zależne od parametru Oczywiście wystarczy sprawdzić, że każda z tych funkcji z osobna
582 XIV. Całki zależne od parametru Ponieważ /„(<?) = 0, więc X /« + iU)=
584 XIV. Całki zależne od parametru 18) Podamy jeszcze przykłady całek, w których nie można zmienić
586 XIV. Całki zależne od parametru§ 2. Zbieżność jednostajna całek 513. Definicja całki zbieżnej
588 XIV. Całki zależne od parametru 515. Warunki dostateczne zbieżności jednostajnej. Podamy teraz p
590 XIV. Całki zależne od parametru 516. Drugi przypadek zbieżności jednostajnej. Rozpatrzmy teraz
592 XIV. Całki zależne od parametru 3) Dowieść bezpośrednio, że całkaf Are-"^dx J v3 dla
594 XIV. Całki zależne od parametru 12) Wykazać to samo dla całki f 8jc3yJ (x* -8 xy3 dx. Tutąj

więcej podobnych podstron