0636

638

XIV. Całki zależne od parametru

Jeżeli liczba przedziałów rodziny A _k jest skończona, to przyjmiemy po prostu A' = A_k. W przypadku przeciwnym wydzielamy z A_t podrodzinę skończoną A' przedziałów d[, d₂.....d’_r w ten sposób, aby

suma długości pozostałych przedziałów d'_+l, rf_r'_+2>... rodziny A_k była mniejsza od S (¹).

Co najmniej niektóre z przedziałów rodziny A₂ są zawarte w przedziałach rodziny A'; gdyby bowiem

były one wszystkie zawarte w przedziałach d,’_+l, d,₊₂..... to suma ich długości byłaby mniejsza od ó

wbrew własności 2) rodzin A_k. Jeśli w A’ zawiera się skończona liczba przedziałów rodziny A_lt to przyjmiemy je za rodzinę A". W wypadku przeciwnym wydzielimy spośród nich rodzinę skończoną A" w ten sposób, aby suma długości wszystkich pozostałych przedziałów rodziny A₂ (włączając w to przedziały nie zawarte wdj była mniejsza od d. Przedłużamy to postępowanie do nieskończoności wydzieląjąc zA₃ rodzinę skończoną A’",... zA_k — rodzinę skończoną A^(k>, ... Przy tym każdy z przedziałów rodziny A^lt+1) jest zawarty w jednym z przedziałów rodziny A^lty. Własność 2) rodzin A_k nie przysługuje już rodzinom A^(k\ ale za to są one znowu skończone (podobnie jak rodziny D_k).

Wreszcie, ostatni etap polega na wydzieleniu z rodzin /)'** po jednym przedziale d^fk) w ten sposób, aby każdy z nich zawierał się w poprzednim.

Mianowicie, wśród przedziałów rodziny A' istnieje co najmniej jeden taki przedział d\ w którym zawarte są przedziały nieskończonego zbioru rodzin następnych.

Istotnie, przypuśćmy, że jest przeciwnie, tj. że w każdym przedziale rodziny A' zawierają się przedziały należące tylko do skończonego zbioru rodzin następnych; wówczas to samo zachodziłoby dla całej rodziny Agdyż składa się ona ze skończonej ilości przedziałów. Innymi słowy, istniałaby tak duża liczba k₀, że żaden z przedziałów rodziny -d“°^> nie byłby zawarty w A', co przeczy własności 1) rodzin A^m.

W przedziale d' są zawarte pewne przedziały rodziny A", bo w przeciwnym przypadku nie zawierałby on żadnych przedziałów rodziny A'" itd. Co więcej, jeden z przedziałów rodziny A" zawierający się w d' musi mieć tę samą własność, co przedział d\ tj. musi zawierać przedziały z nieskończonego zbioru rodzin następnych, bo inaczej również przedział d' nie miałby tej własności (tu znów istotną rolę odgrywa skończoność rodziny A"). Oznaczmy ten przedział rodziny A" przez d”. Przedłużając ten proces do nieskończoności wybieramy z każdej rodziny przedział dⁱⁿ zawarty w poprzednio wybranym przedziale </<»-».

Stwierdzamy teraz, tak jak w dowodzie elementarnego lematu z ustępu 38, że monotoniczne ciągi {a¹} i {b_k} muszą mieć granice i że

lim a_k = <x < P = lim b_k .

Nie możemy tutaj udowodnić równości obu granic, gdyż nic nie wiemy o długościach przedziałów d^m. Jednak każdy punkt c spełniający warunek «<c</J należy oczywiście do wszystkich przedziałów d⁽ⁿ (k = 1, 2, 3,...) i tym samym należy do każdej rodziny A_k (dla k = 1,2, 3,...). To zaś oznacza, że dla każdego k punkt c należy do pewnej rodziny gdzie k'>k (widać to z reguły budowania rodzin A_k). Stąd już wynika, że punkt c należy do zbioru nieskończonego rodzin D_k.

526. Przejście do granicy pod znakiem całki. Udowodnimy obecnie twierdzenie analogiczne do twiei-dzenia 6¹ z ustępu 436. Założenie o jednostajnej zbieżności funkcji f,(x) zastąpimy jednak przez słabsze założenie jej ograniczoności.

Twierdzenie 1 (Arzeli). Niech będzie dany ciąg funkcji

/»(¹)»    n=l,2, 3,....

całkowalnych (w sensie właściwym) w przedziale <«, 6> i wspólnie ograniczonych:

l/»C¹)l < L (L = const, a < x < b, n= 1,2,3,...).

Jeżeli dla każdego x z przedziału <a, ó> istnieje granica

9> W = lim /.(r)

1

Można to zrobić w oparciu o własność reszty szeregu zbieżnego.